Question

15．美國宇航局（NASA）在官網上公布了一張“好奇號”火星車于2016年1月19日傳回的一張“自拍照”，在照片中，“好奇號”身處沙丘，邊緣還有裸露的巖層．若“好奇”號登陸火星后，在火星的表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球．經過t時間小球落回了拋出點．已知火星的半徑R，引力常量G，“好奇”號繞火星運動的周期T，且把“好奇”號繞火星的運動看做是勻速圓周運動，試求：
（1）火星的質量M及密度ρ．
（2）“好奇”號繞火星運行的軌道半徑r．

Answer 1

分析 （1）根據豎直上拋運動的規(guī)律，求出火星表面的重力加速度，根據火星表面的物體重力等于萬有引力，即可求出火星的質量M，由密度公式求出火星的密度；
（2）根據萬有引力提供向心力，即可求出“好奇”號繞火星運行的軌道半徑r

解答 解：（1）根據豎直上拋運動的規(guī)律：$g=\frac{{v}_{0}^{\;}}{\frac{t}{2}}=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$
根據火星表面物體重力等于萬有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
火星的質量為：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$
密度有：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}×\frac{3}{4π{R}_{\;}^{3}}$=$\frac{3{v}_{0}}{2πGtR}$
（2）根據萬有引力定律提供向心力，得：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}=\root{3}{\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}t}}$
答：（1）火星的質量M為$\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$及密度ρ為$\frac{3{v}_{0}}{2πGtR}$．
（2）“好奇”號繞火星運行的軌道半徑r為$\root{3}{\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}t}}$．

點評 本題關鍵是明確探測器的向心力來源，根據牛頓第二定律列式求解，同時要注意在火星表面，重力等于萬有引力，基礎題目