Question

19．如圖所示，質(zhì)量為m的小球套在半徑為R的圓形光滑軌道上運(yùn)動(dòng)，圓形軌道位于豎直平面內(nèi)．已知小球在最高點(diǎn)的速率v₀=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$（g為重力加速度，則（　�。�

• A． 小球的最大速率為$\sqrt{6}$v₀
• B． 在最高點(diǎn)處，軌道對(duì)小球作用力的大小為$\frac{4mg}{5}$
• C． 在任一直徑的兩端點(diǎn)上，小球動(dòng)能之和不變
• D． 小球在與圓心等高的A點(diǎn)，向心加速度大小為$\frac{14g}{5}$

Answer 1

分析 小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速率最大，由機(jī)械能守恒定律求出最大速率．在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律和向心力知識(shí)結(jié)合求軌道對(duì)小球作用力的大小．根據(jù)機(jī)械能守恒定律分析小球的動(dòng)能．由機(jī)械能守恒定律和向心力結(jié)合求向心加速度．

解答 解：A、小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速率最大，設(shè)最大速率為v．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 v₀=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，解得：v=$\sqrt{6}$v₀．故A正確．
B、在最高點(diǎn)處，設(shè)軌道對(duì)小球的作用力大小為F，方向豎直向上．則由牛頓第二定律得：
mg-F=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：F=$\frac{1}{5}$mg，方向豎直向上．故B錯(cuò)誤．
C、以最低點(diǎn)為參考點(diǎn)，整個(gè)過程中小球的機(jī)械能守恒，在任一直徑兩端上的點(diǎn)，它們的高度之和都是2R，即它們的重力勢(shì)能之和相等，由于總的機(jī)械能守恒，所以它們的動(dòng)能之和也相等，故C正確．
D、小球從最高點(diǎn)到A點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球在A點(diǎn)的向心加速度大小 a=$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，聯(lián)立解得 a=$\frac{14g}{5}$，故D正確．
故選：ACD

點(diǎn)評(píng) 小球穿在圓環(huán)軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，屬于桿的模型，在最高點(diǎn)時(shí)速度最小，向心力最小，最低點(diǎn)時(shí)速度最大，向心力最大，由機(jī)械能守恒可以求它們之間的關(guān)系