Question

20．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一個軌道BCDE，其中水平光滑軌道DC長5m，在D端通過光滑小圓弧和粗糙斜軌ED相連接，斜軌傾角θ=30°，在C端和光滑半圓環(huán)BC相切，圓環(huán)半徑R=1.2m．在水平軌道上某處A點斜向上拋出一個質(zhì)量m=0.1kg的小物體（可視為質(zhì)點），使它恰好能從B點沿切線方向進(jìn)入半圓環(huán)，且能先后通過半圓環(huán)和水平軌道，最遠(yuǎn)滑到斜軌上距D點L=4m的E處．已知小物體和斜軌間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，取g=10m/s²．求：
（1）小物體沿粗糙斜軌向上運(yùn)動的時間t_DE；
（2）小物體切入半圓環(huán)頂端8時，圓環(huán)對小物體的壓力大小F；
（3）A點距C點的距離s、拋出初速度口的大小及其與水平面的夾角φ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出物體在DE段做勻減速直線運(yùn)動的加速度大小，采用逆向思維，結(jié)合位移時間公式求出小物體沿粗糙斜軌向上運(yùn)動的時間；
（2）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的速度時間公式求出D點的速度，抓住C、D速度相等，根據(jù)動能定理求出B點的速度，從而根據(jù)牛頓第二定律求出圓環(huán)對小物體的壓力．
（3）物體從A到B做斜拋運(yùn)動，采用逆向思維，物體做平拋運(yùn)動，結(jié)合平拋運(yùn)動的規(guī)律求出A點距C點的距離s、拋出初速度的大小及其與水平面的夾角．

解答 解：（1）設(shè)小物體沿斜軌向上的加速度大小為a，根據(jù)牛頓第二定律和勻變速直線運(yùn)動規(guī)律分別可以得到：
mgsinθ+μmgcosθ=ma，
L=$\frac{1}{2}a{{t}_{DE}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：t_DE=1s．
（2）設(shè)小球在B點的速度為v_B，受到圓環(huán)的壓力為F，小球在C點的速度為v_C，對DE過程，由勻變速運(yùn)動的規(guī)律得：
v_D=at_DE，
對CD過程，有：v_D=v_C，
對BC過程，由動能定理得：$mg•（2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
在B點，根據(jù)牛頓第二定律得：$F+mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=4m/s，F(xiàn)=$\frac{1}{3}N$．
（3）小物體從A到B的過程，可以看作是從B到A的平拋運(yùn)動，設(shè)小物體拋出點A距C的距離為s，從B到A的時間為t，對AB段，由平拋運(yùn)動的規(guī)律有：
$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
s=v_Bt，
在A點，v_x=v_B，v_y=gt
v=$\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$，
tanφ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$，
代入數(shù)據(jù)解得A點距C點的距離s=1.6$\sqrt{3}$≈2.8m，拋出的初速度大小v=8m/s，方向是斜向上與水平夾角φ=60°．
答：（1）小物體沿粗糙斜軌向上運(yùn)動的時間為1s．
（2）小物體切入半圓環(huán)頂端時，圓環(huán)對小物體的壓力大小為$\frac{1}{3}$N．
（3）A點距C點的距離為2.8m，拋出初速度口的大小為8m/s，方向是斜向上與水平夾角為60°．

點評 本題考查了平拋運(yùn)動、圓周運(yùn)動與動能定理、牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律，以及圓周運(yùn)動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．