4.如圖所示,半徑為R,內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置.兩個質量均為m的小球a、b以不同的速度進入管內(nèi),a通過最高點A時,對管上部的壓力為3mg,b通過最高點A時,對管壁下部的壓力為0.75mg.求:
(1)a、b兩球落地點間的距離;
(2)a、b兩球通過光滑半圓管最低點B時圓管對a、b兩球的彈力如何?
(3)a、b兩球通過光滑半圓管水平半徑右端點C時圓管對a、b兩球的彈力如何?

分析 (1)小球在A點所受合力提供圓周運動向心力,據(jù)此求得兩小球離開A點時的速度大小,再根據(jù)平拋運動知識求兩球落地點間的水平距離;
(2)根據(jù)動能定理求得兩小球在B點時的速度大小,再根據(jù)合力提供圓周運動向心力求得圓管對兩球小球的彈力大;
(3)根據(jù)動能定理求得小球在C時的速度大小,根據(jù)合外力提供圓周運動向心力求得圓管對兩小球的彈力大。

解答 解:(1)由題意知a小球在A點受到圓管上部對其向下的壓力3mg,根據(jù)合外力提供圓周運動向心力有
mg+3mg=$m\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$
可得va=$2\sqrt{gR}$
對b小球受下管向上的支持力0.75mg,據(jù)合力提供圓周運動向心力有:
$mg-0.75mg=m\frac{{v}_^{2}}{R}$
可得vb=$\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
兩小球離開A均做平拋運動,故由平拋知識可知兩小球落地時的距離
$△x=({v}_{a}-{v}_)\sqrt{\frac{2•2R}{g}}$=3R
(2)對a球根據(jù)動能定理有:
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{a}^{′}}^{2}$    ①
在B點滿足:${N}_{a}-mg=m\frac{{{v}_{a}^{′}}^{2}}{R}$     ②
由①②兩式解得Na=9mg
對b球根據(jù)動能定理有:
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_^{′}}^{2}$      ③
${N}_-mg=m\frac{{{v}_^{′}}^{2}}{R}$          ④
由③④兩式解得Nb=$\frac{21}{4}mg$
(3)小球a由C到A根據(jù)動能定理有:
$-mgR=\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{a}^{″}}^{2}$      ⑤
水平方向的合力提供圓周運動向心力有:
${N}_{a}′=m\frac{{{v}_{a}^{″}}^{2}}{R}$      ⑥
由⑤⑥兩式解得${N}_{a}^{″}$=6mg
小球b由C到A根據(jù)動能定理有:
$-mgR=\frac{1}{2}m{v}_^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_^{″}}^{2}$        ⑦
水平方向的合力提供圓周運動向心力有:
${N}_″=m\frac{{{v}_^{″}}^{2}}{R}$         ⑧
由⑦⑧兩式解得${N}_^{″}$=$\frac{9mg}{4}$
答:(1)a、b兩球落地點間的距離為3R;
(2)a、b兩球通過光滑半圓管最低點B時圓管對a、b兩球的彈力分別為9mg,$\frac{21}{4}mg$;
(3)a、b兩球通過光滑半圓管水平半徑右端點C時圓管對a、b兩球的彈力分別為:6mg,$\frac{9mg}{4}$.

點評 小球在指向圓心方向的合外力提供小球圓周運動的向心力,能根據(jù)動能定理求得小球在不同位置的速度是解決本題的關鍵.

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