Question

2．如圖所示，在半徑為R的圓形邊界內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=1×10⁶T，以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)原點(diǎn)分別以豎直向上、豎直向下、水平向左、水平向右同時(shí)拋出四個(gè)帶正電的小球，小球的電荷量q=8×10^-12C，質(zhì)量m=1×10^-6kg，它們的初速度大小均為v₀=4m/s，忽略空氣阻力，重力加速度g=10m/s²，則：
（1）當(dāng)R=$\sqrt{17}$m時(shí)，水平向右拋出的小球經(jīng)過(guò)多少時(shí)間到達(dá)圓形邊界？
（2）試證明：在四個(gè)小球都未到達(dá)圓形邊界前，能用一個(gè)圓將四個(gè)小球連起來(lái)，并寫出圓心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先分析四個(gè)帶電小球的受力情況，求出四種情況的加速度，據(jù)此求水平向右拋出小球到達(dá)圓形邊界，利用平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)即可求解．（2）由于四種情況的加速度大小相同，利用平拋運(yùn)動(dòng)和勻變速直線運(yùn)動(dòng)，（勻變速直線運(yùn)動(dòng)可以分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)和初速度為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)），據(jù)此分析處在四個(gè)小球都未到達(dá)圓形邊界前，能用一個(gè)圓將四個(gè)小球連起來(lái)，并寫出圓心的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由于四個(gè)小球相同，都受到重力和電場(chǎng)力，所以加速度相同，據(jù)牛頓第二定律得：
a=$\frac{2×1{0}^{-6}}{1×1{0}^{-6}}$m/s²=2m/s²
水平向右拋出的小球經(jīng)過(guò)多少時(shí)間到達(dá)圓形邊界，據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)可知，
x=v₀t=4t
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=t²
據(jù)幾何關(guān)系可知：x²+y²=17
聯(lián)立以上解得：t=1s
（2）先分析水平向左和向右平拋的小球，由于初速度和加速度相同，據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)可知，兩球水平位移和豎直位移相同，即兩種情況的規(guī)律關(guān)于y軸對(duì)稱．
再以豎直向下運(yùn)動(dòng)的小球，可以視為向下的勻速直線運(yùn)動(dòng)和初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以豎直方向的位移為勻速的位移和勻加速的位移之和；即此種情況的位移比水平拋的位移多：△x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=t²
再以豎直向上運(yùn)動(dòng)的小球，可以視為向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和初速度為零的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，所以豎直方向的位移為勻速的位移和勻減速的位移之差．即此種情況的位移比水平拋的位移少：△x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=t²
綜上可知，兩球水平位移和豎直位移相同，即兩種情況的規(guī)律關(guān)于y軸對(duì)稱；且豎直方向拋出球的軌跡關(guān)于坐標(biāo)（0，t²）對(duì)稱，所以在四個(gè)小球都未到達(dá)圓形邊界前，能用一個(gè)圓將四個(gè)小球連起來(lái)，且圓心的坐標(biāo)為（0，t²），t為小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
答：（1）當(dāng)R=$\sqrt{17}$m時(shí)，水平向右拋出的小球經(jīng)過(guò)1s時(shí)間到達(dá)圓形邊界．
（2）在四個(gè)小球都未到達(dá)圓形邊界前，能用一個(gè)圓將四個(gè)小球連起來(lái)，圓心的坐標(biāo)（0，t²）．

點(diǎn)評(píng) 此題是典型的拋體運(yùn)動(dòng)，靈活利用平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法是解題的關(guān)鍵，還需靈活應(yīng)用幾何關(guān)系；第二問(wèn)此題看似較難，巧利用運(yùn)動(dòng)的分解和水平拋出關(guān)于y軸對(duì)稱，此問(wèn)題迎刃而解．