Question

13．在某星球表面上以速度v₀豎直上拋一物體，經(jīng)時間t回到拋出點，已知該星球的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）該星球的質(zhì)量；
（2）圍繞該星球做圓周運動的衛(wèi)星的最小周期T．

Answer 1

分析 （1）運用豎直上拋運動規(guī)律求出星球表面重力加速度．忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式求解星球的質(zhì)量M．
（2）衛(wèi)星圍繞該星球做勻速圓周運動，根據(jù)向心力公式求解周期．

解答 解：（1）豎直上拋落回原點的速度大小等于初速度，方向與初速度相反．設(shè)星球表面的重力加速度為g，由豎直上拋規(guī)律可得：
v₀=-v₀+gt
解得：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$
在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
得：M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$
（2）衛(wèi)星圍繞該星球做勻速圓周運動，根據(jù)向心力公式得：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$
當(dāng)r=R時，周期最小，則最小為${T}_{min}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}Rt}{2{v}_{0}}}$
答：（1）該星球的質(zhì)量為$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$；
（2）圍繞該星球做圓周運動的衛(wèi)星的最小周期T為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}Rt}{2{v}_{0}}}$．

點評 重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量．本題要求學(xué)生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運動其向心力由引力提供．