Question

11．如圖所示，紙面內(nèi)有邊長(zhǎng)為l的正方形區(qū)域A和寬度為l，長(zhǎng)為3l的長(zhǎng)方形區(qū)域B，區(qū)域A內(nèi)存在著水平向左、場(chǎng)強(qiáng)大小為E₀的勻強(qiáng)電場(chǎng)，區(qū)域A左邊界中點(diǎn)O處可不斷供給初速度為零，帶電量為q，質(zhì)量為m的帶負(fù)電的粒子，單位時(shí)間供給粒子數(shù)量為n，區(qū)域B內(nèi)存在一個(gè)方向向下，場(chǎng)強(qiáng)大小與時(shí)間成正比的勻強(qiáng)電場(chǎng)（E=kt，當(dāng)有粒子剛進(jìn)入?yún)^(qū)域B時(shí)開始計(jì)時(shí)），不計(jì)重力，空氣阻力及粒子間的相互作用，由于粒子的速度很大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間極短，粒子從進(jìn)入?yún)^(qū)域B到最終離開區(qū)域B的過(guò)程中電場(chǎng)強(qiáng)度可認(rèn)為不變
求：（1）剛進(jìn)入?yún)^(qū)域B時(shí)粒子速度是多大？
（2）從MN段邊界射出的粒子數(shù)有多少？
（3）若在區(qū)域B上方添加范圍足夠大的垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，可使從M點(diǎn)射出的粒子返回區(qū)域B并從距上邊界$\frac{3l}{8}$的P點(diǎn)射出（進(jìn)出磁場(chǎng)的時(shí)間也忽略不計(jì)），求滿足條件的磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度的可能值？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在區(qū)域A中加速，由動(dòng)能定理求加速獲得的速度．
（2）帶電粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域B中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向作勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向作勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平位移和豎直位移，由位移時(shí)間公式分別列式，可得到從M點(diǎn)和N點(diǎn)射出的粒子類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，得到時(shí)間差，即可求得粒子數(shù)．
（3）從M點(diǎn)射出的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律得到半徑表達(dá)式．粒子返回電場(chǎng)后作類斜拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，對(duì)水平和豎直兩個(gè)方向的位移分別列式，求出可能的時(shí)間，從而代入磁場(chǎng)方程，求出可能的B的值．

解答 解：（1）設(shè)速度大小為V，對(duì)粒子從出發(fā)至進(jìn)入?yún)^(qū)域B的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理：
qE₀l=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$                    
解得：v=$\sqrt{\frac{2q{E}_{0}l}{m}}$
（2）設(shè)由N點(diǎn)射出時(shí)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E_N，粒子通過(guò)電場(chǎng)時(shí)間為△t_N．
水平方向 2l=v△t_N    
豎直方向  $\frac{l}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{q{E}_{N}}{m}△{t}_{N}^{2}$  
設(shè)由M點(diǎn)射出時(shí)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E_M，粒子通過(guò)電場(chǎng)時(shí)間為△t_M
水平方向  l=v△t_M  
豎直方向  $\frac{l}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{q{E}_{M}}{m}△{t}_{M}^{2}$
得MN射出粒子總數(shù) N=n（△t_N-△t_M）
又  E=kt
聯(lián)立得  N=$\frac{3n{E}_{0}}{2k}$ 
（3）設(shè)粒子經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)的速度大小為v′
由（2）知  E_M=2E₀，
由動(dòng)能定理得：
qE₀l+qE_M$•\frac{l}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
求得：v′=2$\sqrt{\frac{q{E}_{0}l}{m}}$
射出電場(chǎng)時(shí)速度方向與邊界成θ角，則有：v′cosθ=v
解得：θ=45°                        
根據(jù)對(duì)稱性和空間關(guān)系，粒子由磁場(chǎng)返回電場(chǎng)時(shí)與水平方向夾角也是θ=45°，在磁場(chǎng)中做四分之一圓周運(yùn)動(dòng)．
在磁場(chǎng)中 qv′B=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
水平方向 2l-$\sqrt{2}$r=vt  
豎直方向  v′sinθ•t-$\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{M}}{m}{t}^{2}$=$\frac{3}{8}$l 
聯(lián)立求得 t₁=$\frac{3}{4}$$\sqrt{\frac{2ml}{q{E}_{0}}}$，t₂=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{2ml}{q{E}_{0}}}$
代入磁場(chǎng)方程得 B₁=4$\sqrt{\frac{2m{E}_{0}}{ql}}$，B₂=$\frac{4}{3}$$\sqrt{\frac{2m{E}_{0}}{ql}}$
如圖所示可能存在兩種情況．

答：
（1）剛進(jìn)入?yún)^(qū)域B時(shí)粒子速度是$\sqrt{\frac{2q{E}_{0}l}{m}}$．
（2）從MN段邊界射出的粒子數(shù)有$\frac{3n{E}_{0}}{2k}$．
（3）滿足條件的磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度的可能值為4$\sqrt{\frac{2m{E}_{0}}{ql}}$和$\frac{4}{3}$$\sqrt{\frac{2m{E}_{0}}{ql}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，解題關(guān)鍵要掌握電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的分解法，磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的研究方法：畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解軌跡半徑．