Question

6．滑板運(yùn)動(dòng)是一種陸地上的“沖浪運(yùn)動(dòng)”，滑板運(yùn)動(dòng)員可在不同的滑坡上滑行，做出各種動(dòng)作，給人以美的享受．如圖是模擬的滑板組合滑行軌道，該軌道由足夠長的斜直軌道、半徑R的凹形圓弧軌道和半徑R的凸形圓弧軌道組成，這三部分軌道處于同一豎直平面內(nèi)且依次平滑連接，其中M點(diǎn)為凹形圓弧軌道的最低點(diǎn)，N點(diǎn)為凸形圓弧軌道的最高點(diǎn)，凸形圓弧軌道的圓心O點(diǎn)與M點(diǎn)處在同一水平面上，一質(zhì)量為m可看作質(zhì)點(diǎn)的滑板，從斜直軌道上的P點(diǎn)無初速滑下，經(jīng)過M點(diǎn)滑向N點(diǎn)，滑板又從N點(diǎn)水平拋出落到一傾角為θ的斜面上的Q點(diǎn)時(shí)，其速度方向與斜面垂直，運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖中虛線所示．已知滑板過M點(diǎn)及N點(diǎn)的速度分別為v₁和v₂（v₂＜$\sqrt{gR}$），不計(jì)一切阻力，重力加速度為g．

（1）設(shè)滑板滑到M點(diǎn)及N點(diǎn)時(shí)受到軌道的支持力大小分別為F₁和F₂，求$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=？
（2）滑板落到斜面上的Q點(diǎn)時(shí)的速度多大？
（3）滑板從N落到斜面上的Q點(diǎn)時(shí)所需要的時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 （1）在M點(diǎn)和N點(diǎn)進(jìn)行受力分析，合外力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式即可求解；
（2）滑板從N點(diǎn)水平拋出垂直斜面到達(dá)Q點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解；
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式即可求解時(shí)間．

解答 解：（1）對M點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
${F}_{1}-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
對N點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
$mg-{F}_{2}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
解以上兩式得：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{{{v}_{1}}^{2}+gR}{{{v}_{2}}^{2}-gR}$
（2）滑板從N點(diǎn)水平拋出垂直斜面到達(dá)Q點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系得：$v=\frac{{v}_{2}}{sinθ}$；
（3）拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系得：${v}_{y}=\frac{{v}_{2}}{tanθ}$，
又v_y=gt
解得：t=$\frac{{v}_{2}}{gtanθ}$．
答：（1）滑板滑到M點(diǎn)及N點(diǎn)時(shí)受到軌道的支持力大小之比為$\frac{{{v}_{1}}^{2}+gR}{{{v}_{2}}^{2}-gR}$；
（2）滑板落到斜面上的Q點(diǎn)時(shí)的速度為$\frac{{v}_{2}}{sinθ}$；
（3）滑板從N落到斜面上的Q點(diǎn)時(shí)所需要的時(shí)間為$\frac{{v}_{2}}{gtanθ}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了向心力公式、平拋運(yùn)動(dòng)基本公式的直接應(yīng)用，要能根據(jù)幾何關(guān)系得出速度，難度適中．