Question

15．如圖，小球從光滑的斜面軌道上的某點下滑至光滑水平軌道末端時，光電裝置被觸動，控制電路會使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速連續(xù)轉(zhuǎn)動起來（轉(zhuǎn)筒的底面半徑為R）．已知小球經(jīng)過B點時無能量損失，軌道末端與轉(zhuǎn)筒上部相平，與轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)軸距離為L，且與轉(zhuǎn)筒側(cè)壁上的小孔的高度差為h．開始時轉(zhuǎn)筒靜止，且小孔正對著軌道方向．小球從斜軌上的A點無初速滑下，若正好能鉆入轉(zhuǎn)筒的小孔（小孔比小球略大，小球視為質(zhì)點，不計空氣阻力，重力加速度為g），求：
（1）小球從斜軌上釋放時的高度H；  
（2）轉(zhuǎn)筒的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）小球從離開圓弧軌道到進入小孔的過程中做平拋運動，根據(jù)平拋運動的位移時間關(guān)系公式求出運動時間和初速度，再對小球在圓弧軌道上的運動運用機械能守恒定律列式求解；
（2）計算出平拋運動的時間后，根據(jù)角速度的定義式求解角速度即可．

解答 解：（1）設(shè)小球離開軌道進入小孔的時間為t，則由平拋運動規(guī)律得
h=$\frac{1}{2}$gt²
L-R=v₀t
小球在軌道上運動過程中機械能守恒，故有
mgH=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
聯(lián)立解得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
H=$\frac{（L-R）^{2}}{4h}$
（2）在小球做平拋運動的時間內(nèi)，圓筒必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆進小孔，
即ωt=2nπ（n=1，2，3…）．
所以ω=$nπ\(zhòng)sqrt{\frac{2g}{h}}$（n=1，2，3…）
答：（1）小球從斜軌上釋放時的高度H為$\frac{{（L-R）}^{2}}{4h}$；
（2）轉(zhuǎn)筒的角速度ω為$nπ\(zhòng)sqrt{\frac{2g}{h}}$（n=1，2，3…）．

點評 本題關(guān)鍵是分析求出小球和圓筒的運動規(guī)律，然后根據(jù)機械能守恒定律、平拋運動分位移公式、角速度定義式列式求解．