Question

12．為了研究過山車的原理，物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個與水平方向夾角為37°、長為L=2.0m的粗糙的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個質(zhì)量為2kg的小物塊以初速度v₀=4.0m/s，從某一高處水平拋出，恰從A點(diǎn)無碰撞地沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道AB的動摩擦因數(shù)μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）：
（1）求小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差；
（2）求小物塊沿著軌道AB運(yùn)動的過程中克服摩擦力所做的功；
（3）為了讓小物塊能沿著軌道運(yùn)動，并從E點(diǎn)飛出，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形定則求出豎直分速度的大小，結(jié)合動能定理求出小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差．
（2）根據(jù)滑動摩擦力的大小，結(jié)合斜面的長度求出滑動摩擦力做功的大�。�
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最小速度表達(dá)式，結(jié)合動能定理和機(jī)械能守恒定律求出豎直圓軌道的半徑．

解答 解：（1）設(shè)從拋出點(diǎn)到A點(diǎn)的高度差為h，到A點(diǎn)時有則有：
$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$，${v}_{y}=\sqrt{2gh}$，
且 $\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=tan37°$，
代入數(shù)據(jù)解得h=0.45m   
（2）小物塊沿著軌道AB運(yùn)動的過程中克服摩擦力所做的功為：
W=μmgcos37°L=0.5×20×0.8×2J=16J  
（3）小物體到達(dá)A點(diǎn)時的速度：${v}_{A}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{16+0.45×20}$m/s=5m/s．
從A到B，由動能定理：$mgLsin37°-μmgcos37°×L=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$-$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
小物體從B到環(huán)最高點(diǎn)機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}+mg2R$，
在最高點(diǎn)有：$m\frac{{{v}_{p}}^{2}}{R}≥mg$，
代入數(shù)據(jù)解得：R≤0.66m． 
答：（1）小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差為0.45m．
（2）小物塊沿著軌道AB運(yùn)動的過程中克服摩擦力所做的功為16J．
（3）豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足R≤0.66m．

點(diǎn)評 此題要求熟練掌握平拋運(yùn)動、動能定理、機(jī)械能守恒定律、圓周運(yùn)動等規(guī)律，包含知識點(diǎn)多，難度中等．