Question

2．為了研究過山車的原理，物理小組提出了下列設想：取一個與水平方向夾角為37°的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC進入豎直圓軌道l，接著進入為水平軌道DE和豎直圓軌道2．其中AB與BC軌道以微小圓弧相連，已知豎直軌道1的半徑R=0.8m豎直圓軌道2的半徑r=0.4m，水平軌道DE長為4m．如圖所示，一個質量為0.5kg的小物塊（可看作質點）靜止從A點沿傾斜軌道滑下．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.80）求：
（1）假設整個軌道都是光滑的，要使小物塊通過兩個圓軌道滑出，求斜面AB長L至少為多少？
（2）假設只有水平軌道DE是不光滑的，小物塊經斜面下滑后恰能通過豎直圓軌道1，而后經水平軌道DE進入豎直圓軌道2，并且能夠滑回水平軌道DE，小物塊整個運動過程不脫離軌道．求小物塊最終可能停在什么范圍內？

Answer 1

分析 （1）要使小物塊通過兩個圓軌道滑出，則要求物塊能夠通過豎直圓軌道1的最高點，根據(jù)向心力公式求出到達最高點的最小值，再根據(jù)動能定理求解斜面AB長；
（2）小物塊經斜面下滑后恰能通過豎直圓軌道1，則在最高點的速度為$\sqrt{gR}$，要使小球經水平軌道DE進入豎直圓軌道2，并且能夠滑回水平軌道DE，則小球最多上升到與豎直圓軌道2圓心等高處，根據(jù)動能定理列式求解．

解答 解：（1）若物塊能夠通過豎直圓軌道1的最高點，則小物塊就能通過兩個圓軌道滑出，在豎直圓軌道1的最高點，當重力提供向心力時，速度最小，根據(jù)向心力公式得：mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}=2\sqrt{2}m/s$．
從A點到豎直圓軌道1的最高點的過程中，根據(jù)動能定理得：
mg（Lsin37°-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：L=3.33m
所以斜面AB長L至少為3.33m
（2）要使小球經水平軌道DE進入豎直圓軌道2，并且能夠滑回水平軌道DE，則小球最多上升到與豎直圓軌道2圓心等高處，根據(jù)動能定理得：
$0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$═mg（2R-r）-μmgx_DE…①
設最終停在與E點的距離為x處，則有：
mgr=μmgx…②
由①②解得：x=1m
所以小物塊最終可停在距離E點1m的范圍內．
答：（1）斜面AB長L至少為3.33m；
（2）小物塊最終可能在距離E點1m的范圍內．

點評 本題綜合考查了動能定理和牛頓第二定律，涉及直線運動和圓周運動，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強這方面的訓練．