Question

15．“太空粒子探測器”是由加速、偏轉(zhuǎn)和收集三部分組成．其原理可簡化如下：如圖所示，輻射狀的加速電場區(qū)域邊界為兩個(gè)同心平行半圓弧面，圓心為M，外圓弧面AB與內(nèi)圓弧面CD的電勢差為U．圖中偏轉(zhuǎn)磁場分布在以P為圓心，半徑為3R的圓周內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外；內(nèi)有半徑為R的圓盤（圓心在P處）作為收集粒子的裝置，粒子碰到圓盤邊緣即被吸收．假設(shè)太空中漂浮著質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子，它們能均勻地吸附到AB圓弧面上，并被加速電場從靜止開始加速，從M點(diǎn)以某一速率向右側(cè)各個(gè)方向射入偏轉(zhuǎn)磁場，不計(jì)粒子間的相互作用和其他星球?qū)αＷ右�力的影響�?nbsp;
（1）求粒子到達(dá)M點(diǎn)時(shí)的速率．
（2）若電勢差U=$\frac{2q{B}^{2}{R}^{2}}{m}$，則粒子從M點(diǎn)到達(dá)圓盤的最短時(shí)間是多少？
（3）接第（2）問，試求到達(dá)圓盤的粒子數(shù)與到達(dá)M點(diǎn)的粒子總數(shù)比值η．（結(jié)果用反三角函數(shù)表示．例：sinθ=k，則θ=arcsink，θ為弧度）

Answer 1

分析 （1）在電場中電場力做功，由動(dòng)能定理可求得粒子的速度；
（2）由已知條件可求得速度大小，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得半徑；根據(jù)幾何關(guān)系可確定最少時(shí)間．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系確定能到達(dá)圓盤的粒子，根據(jù)角度關(guān)系可求得打在圓盤上粒子所占比值．

解答 解：（1）設(shè)粒子到達(dá)M點(diǎn)的速度為v，由動(dòng)能定理可得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）將U=$\frac{2q{B}^{2}{R}^{2}}{m}$代入，
v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$=$\frac{2qBR}{m}$
設(shè)該粒子軌跡半徑為r，根據(jù)qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：
r=2R
若要時(shí)間最短，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的弦長最短，故從M斜向上射入，在圖1中E點(diǎn)到達(dá)圓盤的粒子用時(shí)最短；
由幾何關(guān)系可知：
ME=E0=0M=2R
故∠M0E=60°
得t_min=$\frac{60°}{360}$=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$
（3）若粒子以與MP成α角從M點(diǎn)射入磁場，軌跡恰好與圓盤相切，畫出軌跡如圖2所示；
根據(jù)幾何關(guān)系找出粒子軌跡的圓心與0₁剛好落在磁場的邊界上．
MP=0₁P=3R
在等腰△MP0₁中作PF⊥M0₁
因?yàn)镻F與該粒子從M進(jìn)入時(shí)的速度方向平行，故sinα=$\frac{MF}{MP}$=$\frac{1}{3}$
α=arcsin$\frac{1}{3}$
若粒子以與MP垂直從M點(diǎn)射入磁場，軌跡也恰與圓盤相切，如圖3所示；
故入射角度在arcsin$\frac{1}{3}$至$\frac{π}{2}$之間的粒子打在圓盤上；
故達(dá)圓盤的粒子數(shù)與到達(dá)M點(diǎn)的粒子總數(shù)比值η=$\frac{\frac{π}{2}-arcsin\frac{1}{3}}{\frac{π}{2}+arcsin\frac{1}{3}}$
答：（1）粒子到達(dá)M點(diǎn)時(shí)的速率為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）粒子從M點(diǎn)到達(dá)圓盤的最短時(shí)間是$\frac{πm}{3qB}$；
（3）故達(dá)圓盤的粒子數(shù)與到達(dá)M點(diǎn)的粒子總數(shù)比值為$\frac{\frac{π}{2}-arcsin\frac{1}{3}}{\frac{π}{2}+arcsin\frac{1}{3}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，此類問題解題的關(guān)鍵在于明確粒子的運(yùn)動(dòng)情況，注意應(yīng)用幾何關(guān)系確定圓心和半徑．本題中注意第三小問中利用角度來求粒子數(shù)所點(diǎn)比例．