Question

13．如圖所示，離質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體表面R處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)M對(duì)m的萬(wàn)有引力為F₁，當(dāng)從M中挖去兩個(gè)半徑為r=$\frac{R}{2}$的球體時(shí)，剩下部分對(duì)m的萬(wàn)有引力為F₂．求F₁、F₂的比值．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力定律公式分別求出挖去部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小，結(jié)合整體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小，求出剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小，從而得出F₁、F₂的比值．

解答 解：未挖去前，整體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為：${F}_{1}=G\frac{Mm}{（2R）^{2}}$，
挖去的左邊小球?qū)�質(zhì)點(diǎn)的引力為：$F′=G\frac{{m}_{0}m}{（2.5R）^{2}}$，
挖去的右邊小球?qū)�質(zhì)點(diǎn)的引力為：$F″=G\frac{{m}_{0}m}{（1.5R）^{2}}$，
根據(jù)V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$知，挖去兩個(gè)球的體積分別是原來(lái)球體體積的$\frac{1}{8}$，則挖去的每個(gè)球的質(zhì)量為$\frac{1}{8}M$，
可知F₂=F₁-F′-F″=$G\frac{157Mm}{900{R}^{2}}$，
解得：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{225}{157}$．
答：F₁、F₂的比值為225：157．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了萬(wàn)有引力定律得直接應(yīng)用，注意球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的距離為球心到質(zhì)點(diǎn)的距離．