Question

7．如圖所示，真空中有一個(gè)點(diǎn)狀的放射源P，它向各個(gè)方向發(fā)射同種正粒子（不計(jì)重力），速率都相同，ab為P點(diǎn)附近的一條水平直線（P到直線ab的距離PC=lm），Q為直線ab上一點(diǎn)，它與P點(diǎn)相距PQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m（現(xiàn)只研究與放射源P和直線ab在同一個(gè)平面內(nèi)的粒子的運(yùn)動(dòng)），當(dāng)真空中（直線ab以上區(qū)域）只存在垂直該平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=2T勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，水平向左射出的粒子恰到達(dá)Q點(diǎn)；當(dāng)真空中（直線ab以上區(qū)域）只存在平行該平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，不同方向發(fā)射的粒子若能到達(dá)ab直線，則到達(dá)ab直線時(shí)它們速度大小都相等，已知水平向左射出的粒子也恰好到達(dá)Q點(diǎn)．
（粒子比荷為$\frac{q}{m}$=1×10⁶C/kg）求：
（1）粒子的發(fā)射速率；
（2）當(dāng)僅加上述電場(chǎng)時(shí)，求到達(dá)ab直線上粒子的速度大小和電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；（結(jié)果可用根號(hào)表示）
（3）當(dāng)僅加上述磁場(chǎng)時(shí)，從P運(yùn)動(dòng)到直線ab的粒子中所用的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系得出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合半徑公式求出粒子的發(fā)射速率．
（2）因所有粒子到達(dá)ab直線的速度大小相等，故電場(chǎng)的方向應(yīng)由P指向C，水平向左發(fā)射的粒子應(yīng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出到達(dá)ab直線上粒子的速度大小和電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（3）從P運(yùn)動(dòng)到直線ab所用時(shí)間最短的粒子，PC必為其運(yùn)動(dòng)軌跡的一條弦，結(jié)合周期公式和圓心角的大小求出粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）作PQ的中垂線分別交PQ、PC于A、O兩點(diǎn)，O點(diǎn)即為圓心，設(shè)圓的半徑為r，
由相似三角形知識(shí)有
$\frac{QC}{PQ}=\frac{AO}{r}$，
由直角三角形知識(shí)有
$AO=\sqrt{{r}^{2}-P{A}^{2}}$，
對(duì)粒子由牛頓第二定律得
$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
解以上方程并代入數(shù)據(jù)得v₀=1.25×10⁶m/s     
（2）因所有粒子到達(dá)ab直線的速度大小相等，故電場(chǎng)的方向應(yīng)由P指向C，水平向左發(fā)射的粒子應(yīng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，所以
QC=v₀t，
PC=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$，
v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+（\frac{qE}{m}t）^{2}}$，
聯(lián)立解以上方程并代入數(shù)據(jù)得
v=$\frac{5\sqrt{5}}{4}m/s$．
E=1.25×10⁷V/m    
（3）從P運(yùn)動(dòng)到直線ab所用時(shí)間最短的粒子，PC必為其運(yùn)動(dòng)軌跡的一條弦，由幾何關(guān)系得
$sin∠PO′{P}_{1}=\frac{P{P}_{1}}{PO′}=\frac{4}{5}$，
所以∠PO′P₁=54°，
得∠PO′C=106°．
則其運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{106}{360}×\frac{2πm}{qB}=\frac{106π}{360}×1{0}^{-6}s$．
答：（1）粒子的發(fā)射速率為1.25×10⁶m/s；
（2）到達(dá)ab直線上粒子的速度大小為$\frac{5\sqrt{5}}{4}m/s$，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為1.25×10⁷V/m；
（3）從P運(yùn)動(dòng)到直線ab的粒子中所用的最短時(shí)間為$\frac{106π}{360}×1{0}^{-6}s$．

點(diǎn)評(píng) 本題的突破口是確定α粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中和勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求解磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．