Question

16．質(zhì)量為m=1kg的小物塊輕輕放在水平勻速運動的傳送帶上的P點，隨傳送帶運動到A點后水平拋出，小物塊恰好無碰撞的沿圓弧切線從B點進(jìn)入豎直光滑圓孤軌道下滑．B、C為圓弧的兩端點，其連線水平．已知圓弧半徑R=1.0m圓弧對應(yīng)圓心角θ=106°，軌道最低點為O，A點距水平面的高度h=0.8m．由于圓弧光滑，小物塊離開C點時速度的大小恰好等于在B點時的速度；此后恰能無碰撞的沿固定斜面向上運動到D點，共0.8s后回到C點，物塊與斜面間的滑動摩擦因數(shù)為μ₁=$\frac{1}{3}$（g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）試求：
（1）小物塊離開A點的水平初速度v₁
（2）若小物塊經(jīng)過O點時速度為3m/s，求物塊在O點對軌道的壓力
（3）斜面上CD間的距離
（4）假設(shè)小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.3，傳送帶的速度為5m/s，則PA間的距離是多少？

Answer 1

分析 （1）利用平拋運動規(guī)律，在B點對速度進(jìn)行正交分解，得到水平速度和豎直方向速度的關(guān)系，而豎直方向速度v_y=$\sqrt{2gh}$顯然易求，則水平速度v₁可解．
（2）首先利用動能定理解決物塊在最低點的速度問題，然后利用牛頓第二定律在最低點表示出向心力，則滑塊受到的彈力可解．根據(jù)牛頓第三定律可求對軌道的壓力．
（3）物塊沿斜面上滑過程，運用牛頓第二定律求出加速度，由速度公式求得上滑所需的時間；再求出下滑加速度、距離，利用勻變速直線運動規(guī)律公式求出位移差再由運動學(xué)公式求解斜面上CD間的距離．
（4）小物塊在傳送帶上加速過程，由牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合解答．

解答 解：（1）對小物塊，由A到B做平拋運動，到達(dá)B點的豎直分速度大小為：
v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
在B點，有：tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=3m/s
（2）對小物塊，由B到O，由動能定理可得：
mgR（1-sin37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{O}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
其中 v_B=$\frac{{v}_{y}}{sin\frac{θ}{2}}$=5m/s
在O點，由牛頓第二定律有：N-mg=m$\frac{{v}_{O}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：N=43N
由牛頓第三定律知小物塊對軌道的壓力為：N′=N=43N
（3）物塊沿斜面上滑過程，由牛頓第二定律有：
mgsin53°+μmgcos53°=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=10m/s²
物塊沿斜面下滑過程，有：mgsin53°-μmgcos53°=ma₂
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=6m/s²
由機(jī)械能守恒知：v_C=v_B=5m/s
小物塊由C上升到最高點歷時為：t₁=$\frac{{v}_{C}}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{10}$s=0.5s
小物塊由最高點回到D點歷時為：t₂=0.8s-0.5s=0.3s
故 S_CD=$\frac{{v}_{C}}{2}$t₁-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$
即得 S_CD=0.98m．
（4）傳送帶的速度為5m/s，所以小物塊在傳送帶上一直加速，有：μ₂mg=ma₃
可得 a₃=3m/s²；
PA間的距離為：S_PA=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{3}}$=$\frac{{3}^{2}}{2×3}$m=1.5m
答：（1）小物塊離開A點的水平初速度v₁是3m/s．
（2）若小物塊經(jīng)過O點時速度為3m/s，物塊在O點對軌道的壓力是43N．
（3）斜面上CD間的距離是0.98m．
（4）PA間的距離是1.5m．

點評 本題是一個單物體多過程的力學(xué)綜合題，把復(fù)雜的過程分解成幾個分過程是基本思路．本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運動情況，然后根據(jù)動能定理、平拋運動知識、牛頓第二定律、向心力公式列式求解．