Question

19．如圖所示，質(zhì)量m的小物體，從光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道上與圓心等高處由靜止釋放，到達底端時進入總長為L的水平傳送帶，傳送帶可由一電機驅(qū)使順時針轉動．已知物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ，$\frac{1}{4}$圓弧軌道半徑為r．求：
（1）求物體剛到達軌道底端時速度v₀及對軌道壓力的大��；
（2）若電機不開啟，傳送帶不動，物體能夠從傳送帶右端滑出，則物體到達傳送帶右端時的速度；
（3）若開啟電機，傳送帶以速率v₂順時針轉動．已知物體在傳送帶上能加速，且到達傳送帶右端前速度已達到v₂，則傳送一個物體電動機對傳送帶多做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）物體在曲面上運動時，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律求出物體到達曲面底端時的速度大�。�由牛頓運動定律求物體對軌道的壓力．
（2）對在傳送帶上的運動過程，運用動能定理，求出物體滑離傳送帶右端時的速度大小．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出物體在傳送帶上運行的加速度，結合速度時間公式求出運行的時間，從而得出這段過程中傳送帶的位移，根據(jù)能量守恒得出傳送一個物體電動機多做的功．

解答 解：（1）物體滑下過程機械能守恒，有：$mgr=\frac{1}{2}mv_0^2$ 得 ${v_0}=\sqrt{2gr}$
根據(jù)牛頓第二定律：$N-mg=m\frac{v_0^2}{r}$
可得 N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律，物體對軌道壓力 N′=N=3mg  
（2）從物體開始下落到它到達傳送帶右端，根據(jù)動能定理得
 $mgr-μmgL=\frac{1}{2}mv_1^2$
則 ${v_1}=\sqrt{2g（r-μL）}$
（3）物體先加速后勻速，勻速階段沒有摩擦力，不再對物體做功
加速階段多做的功為傳送帶克服摩擦力做的功 W=μmg•s_帶
傳送帶位移 s_帶=v₂t
加速時間 $t=\frac{{{v_2}-{v_0}}}{μg}$
解得 $W=m{v_2}（{v_2}-{v_0}）=m{v_2}（{v_2}-\sqrt{2gr}）$
（或用 $W=Q+\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_0^2$，摩擦生熱  Q=μmg（s_帶-s_物），物體位移s_物=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2μg}$求解）
答：
（1）物體剛到達軌道底端時速度v₀為$\sqrt{2gr}$，對軌道壓力的大小為3mg．
（2）物體到達傳送帶右端時的速度為$\sqrt{2g（r-μL）}$．
（3）傳送一個物體電動機對傳送帶多做的功為mv₂（v₂-$\sqrt{2gr}$）．

點評 本題綜合考查了機械能守恒定律、動能定理和能量守恒定律，要知道電動機多做的功等于摩擦力對傳送帶做功的大�。�