Question

11．如圖所示，兩個(gè)足夠長(zhǎng)的等高臺(tái)階之間是水平地面，地面長(zhǎng)度d=16m，在地面上緊靠左側(cè)臺(tái)階放著質(zhì)量M=1kg的木板，木板長(zhǎng)l=$\frac{32}{3}$m，上表面與臺(tái)階面齊平．右側(cè)臺(tái)階上固定著一個(gè)傾角θ=37°的斜面，斜面末端與臺(tái)階面平滑連接，一質(zhì)量為m=2kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v₀=12m/s從距左側(cè)臺(tái)階邊緣P點(diǎn)x₀=$\frac{8}{3}$m處開始向右運(yùn)動(dòng)，離開臺(tái)階后隨即沖上木板，到達(dá)右側(cè)臺(tái)階邊緣Q點(diǎn)立即沖上斜面，木板一旦與臺(tái)階碰撞就會(huì)立即停下（不與臺(tái)階粘連），貨物與臺(tái)階、木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.3，與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.25，木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₃=0.1，g取10m/s²，求：
（1）貨物沖上木板時(shí)，貨物和木板的加速度．
（2）貨物沿斜面上滑的最大距離．
（3）貨物最終停止的位置到P點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定 律分別求貨物和木板的加速度．
（2）對(duì)貨物在左側(cè)臺(tái)階上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式規(guī)律求貨物到達(dá)P點(diǎn)的速度．沿斜面上滑的最大距離．
（3）貨物沿斜面下滑的過(guò)程，由牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求滑貨物滑到斜面底端時(shí)的速度．貨物沖上木板后，由速度公式求出達(dá)到共同速度經(jīng)過(guò)的時(shí)間，并求出木板前進(jìn)的位移，從而得到貨物最終停止的位置到P點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）對(duì)貨物而言，由牛頓第二定律得：
f₁=μ₁mg=ma₁，
解得：a₁=μ₁g=0.3×10=3m/s²；
對(duì)木板而言有：f₁-μ₃（M+m）g=Ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=3m/s²；
（2）對(duì)貨物，在左側(cè)臺(tái)階上運(yùn)動(dòng)，加速度也等于a₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式規(guī)律有：
${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}$=2（-a₁）x₀；
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=8$\sqrt{2}$m/s
沖上木板后，假設(shè)能一直減速到Q點(diǎn)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=2（-a₁）d；
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=4$\sqrt{2}$m/s
對(duì)木板，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有：
${v}_{2}^{′2}$-0=2a₂（d-l）；
代入數(shù)據(jù)解得：v₂′=4$\sqrt{2}$m/s
說(shuō)明貨物剛好沖到板的右端達(dá)到共同速度且抵達(dá)了右側(cè)臺(tái)階Q點(diǎn)．
沿斜面上滑過(guò)程，由牛頓第二定律有：
μ₂mgcosθ+mgsinθ=ma₃；
代入數(shù)據(jù)解得：a₃=8m/s²；
設(shè)貨物能沿斜面上滑的最大距離為x，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有：
0-${v}_{2}^{2}$=2（-a₃）x
代入數(shù)據(jù)解得：x=2m
（3）沒(méi)斜面下滑過(guò)程，由牛頓第二定律有：
mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₄；
代入數(shù)據(jù)解得：a₄=4m/s²；
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：${v}_{3}^{2}$-0=2a₄x
代入數(shù)據(jù)解得：v₃=4m/s；
沖上木板后，達(dá)到共同速度為：
v_共=v₃-a₁t=a₂t
代入數(shù)據(jù)解得：t=$\frac{2}{3}$s，v_共=2m/s
貨物前進(jìn)的位移為：x′=$\frac{{v}_{3}+{v}_{共}}{2}t$=2m
達(dá)到共同速度后一起勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有：
μ₃（M+m）g=（M+m）a₅；
代入數(shù)據(jù)解得：a₅=1m/s²；
設(shè)貨物和木板一起減速的位移為x″，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
0-${v}_{共}^{2}$=2（-a₅）x″
代入數(shù)據(jù)解得：x″=2m
故貨物最終停止的位置到P點(diǎn)的距離為：
△x=d-x′-x″=16-2-2=12m
答：（1）貨物沖上木板時(shí)，貨物和木板的加速度均為3m/s²；
（2）貨物沿斜面上滑的最大距離是2m．
（3）貨物最終停止的位置到P點(diǎn)的距離是12m．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分步研究，邊計(jì)算邊分析貨物的運(yùn)動(dòng)情況，分析還要抓住臨界狀態(tài)：貨物與木板共速的情況．