Question

20．如圖所示，豎直面內(nèi)有一半徑為R的圓形軌道，一質(zhì)量為m的小球從斜軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放，沿軌道滑下，斜軌道的傾角為α，各處的摩擦均不計(jì)．求：
（1）為使小球能完成圓周運(yùn)動(dòng)，釋放點(diǎn)A距水平地面的高度h至少要為多少？
（2）讓小球從h′=2R處由靜止下滑，小球?qū)�從圓軌道的何處脫離？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出小球恰好通過最高點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒求解h的最小值．
（2）小球要脫離軌道時(shí)，由重力的徑向分力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求得剛脫離時(shí)的速度，由機(jī)械能守恒求解脫離處的高度．

解答 解：（1）小球恰好通過最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，則有
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，v=$\sqrt{gR}$
根據(jù)機(jī)械能守恒得：mgh=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 h=$\frac{5R}{2}$
（2）當(dāng)要脫離時(shí)，令半徑與水平方向夾角為θ，
由牛頓第二定律得 $mgsinθ=\frac{{m{v^2}}}{R}$
由機(jī)械能守恒得 $2mgR=\frac{1}{2}m{v^2}+mgR（1+sinθ）$
得$sinθ=\frac{2}{3}$
故離地高$\frac{5R}{3}$處脫離．
答：
（1）為使小球能完成圓周運(yùn)動(dòng)，釋放點(diǎn)A距水平地面的高度h至少要為$\frac{5R}{2}$．
（2）讓小球從h′=2R處由靜止下滑，小球?qū)�從圓軌道上離地高$\frac{5R}{3}$處脫離．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚小球臨界狀態(tài)的條件是解決本題的關(guān)鍵，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律即可正確解題．