Question

17．某天體可視為質(zhì)量均勻分布的球體，自轉(zhuǎn)周期為T，“北極點(diǎn)”處的重力加速度是“赤道”處重力加速度的k倍（k＞1）．若該天體有一顆近地環(huán)繞衛(wèi)星，則近地環(huán)繞衛(wèi)星的周期為（　�。�

• A． $\sqrt{k-1}$•T
• B． $\sqrt{\frac{1}{k-1}}$•T
• C． $\sqrt{\frac{k}{k-1}}$•T
• D． $\sqrt{\frac{k-1}{k}}$•T

Answer 1

分析 質(zhì)量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力．根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，在赤道的物體所受地球的引力可分解為重力和隨地自轉(zhuǎn)的向心力，對(duì)該天體的近地衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，聯(lián)立即可求出近地環(huán)繞衛(wèi)星的周期．

解答 解：質(zhì)量為m的物體在兩極處，萬(wàn)有引力等于重力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{極}^{\;}$①
質(zhì)量為m的物體在赤道上，萬(wàn)有引力可分解為重力和隨地自轉(zhuǎn)的向心力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{赤}^{\;}+m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$②
根據(jù)題意知，$\frac{{g}_{極}^{\;}}{{g}_{赤}^{\;}}=k$③
聯(lián)立①②③得：$GM=\frac{k}{k-1}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{R}_{\;}^{3}$④
設(shè)該天體的近地衛(wèi)星的質(zhì)量為m′，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′\frac{4{π}_{\;}^{2}}{T{′}_{\;}^{2}}R$⑤
解得：T'=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$⑥
將④代入⑥得：T'=$\sqrt{\frac{k-1}{k}}•T$，故D正確，ABC錯(cuò)誤；
故選：D

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到在赤道處的重力實(shí)為地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力減去物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，掌握力的關(guān)系是正確解題的前提．