Question

2．德國亞琛工業(yè)大學(xué)的科研人員成功開發(fā)了一種更先進的磁動力電梯升降機，滿足上千米摩天大樓中電梯升降的要求．如圖所示是一種磁動力電梯的模擬機，即在豎直平面內(nèi)有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，B₁=B₂=1T，電梯橋廂固定在如圖所示的一個用超導(dǎo)材料制成的金屬框abcd內(nèi)（電梯橋廂在圖中未畫出），并且與之絕緣．電梯載人時的總質(zhì)量為m=5×10³kg，所受阻力大小為F_f=500N，金屬框垂直軌道的邊長為L_cd=2m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長L_ac相同，金屬框整個回路的電阻為R=1.0×10^-3Ω，問：
（1）假如兩磁場始終豎直向上做勻速運動．設(shè)計要求電梯以v₁=10m/s的速度向上勻速運動，那么，磁場向上運動的速度v₀應(yīng)該為多大？
（2）假如t=0時兩磁場由靜止開始向上做勻加速運動，加速度大小為a=1.5m/s²，電梯可近似認為過一小段時間后也由靜止開始向上做勻加速運動，t=5s末電梯的速度多大？電梯運動的時間內(nèi)金屬框中消耗的電功率多大？從電梯開始運動到t=5s末時間內(nèi)外界提供給系統(tǒng)的總能量為多大？

Answer 1

分析 （1）電梯受三個力作用：重力，阻力，安培力，要想勻速運動則要求安培力要克服重力和阻力．據(jù)此可以求的磁場速度
（2）①由磁場的運動可以求得安培力，進而由牛頓第二定律求惡的電梯的加速度，之后可得5s末的速度．
②由磁場速度減電梯速度可以得到金屬礦相對磁場的速度，進而可以求的金屬框中的電流，然后可以求的功率．
③由能量守恒可知外界提供的能量應(yīng)為：電梯動能增加，重力勢能增加，克服阻力的功，以及產(chǎn)生的電熱等四者之和．

解答 解：（1）電梯向上勻速運動時，框中感應(yīng)電流大小為$I=\frac{2{B}_{1}{L}_{cd}（{v}_{0}-{v}_{1}）}{R}$
金屬框所受安培力F=2B₁IL_cd
安培力大小與重力和阻力之和相等，所以F=mg+F_f
即$\frac{4{{B}_{1}}^{2}{{L}_{cd}}^{2}（{v}_{0}-{v}_{1}）}{R}=mg+{F}_{f}$
得：v₀=13.2m/s
（2）電梯向上勻加速運動時，金屬框中感應(yīng)電流大小為  $I=\frac{2{B}_{1}{L}_{cd}（{v}_{2}-{v}_{1}）}{R}$
金屬框所受安培力F=2B₁IL_cd
由牛頓定律得：F-mg-F_f=ma
 即   $\frac{4{{B}_{1}}^{2}{{L}_{cd}}^{2}（at-{v}_{1}）}{R}-mg-{F}_{f}=ma$   
解得：v₁=3.9m/s
金屬框中感應(yīng)電流為：I=$I=\frac{2{B}_{1}{L}_{cd}（at-{v}_{1}）}{R}$=1.44×10⁴A
A金屬框中的電功率為：P₁=I²R=2.07×10⁵W
電梯上升高度為：$h=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a}=5.07m$
上升時間為：$t′=\frac{{v}_{1}}{a}=2.6s$
外界提供的總能量為E=mgh+F_fh+$\frac{1}{2}$mv₁²+P₁t′=8.3×10⁵J
答：
（1）v₀=13.2m/s
（2）5s末速度為：3.9m/s
金屬框中的電功率為：2.07×10⁵W
外界提供的總能量為：8.3×10⁵J

點評 本題考查導(dǎo)體切割磁感線中的能量問題，其中第二大問的第三小問是比較容易出錯的，外界提供的能量轉(zhuǎn)化的方式比較多，所以容易遺漏．