Question

4．如圖所示，水平桌面上一輕彈簧的左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的半徑R=0.5m的光滑半圓軌道MN，其中MN為其直徑，與地面垂直．現(xiàn)用一質(zhì)量m=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊向右運(yùn)動(dòng)，過B點(diǎn)后物塊的位移與時(shí)間滿足關(guān)系式x=7t-2t²（x的單位為m，t的單位為s）．物塊進(jìn)入光滑圓軌道后，恰好能從M點(diǎn)飛出．g=10m/s²，求：
（1）B、N間的距離．
（2）在N點(diǎn)，物塊對(duì)軌道的壓力．
（3）物塊離開M點(diǎn)后落至地面時(shí)與N點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)M點(diǎn)的臨界條件即可求得物塊在M點(diǎn)的速度，再對(duì)NM過程由機(jī)械能守恒定律可求得N點(diǎn)的速度，再對(duì)BN過程分析，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得BN間的距離；
（2）在N點(diǎn)由向心力公式即可求得物塊受到的支持力，再由牛頓第三定律可求得物塊對(duì)N點(diǎn)的壓力；
（3）物塊由M點(diǎn)水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得落地點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）物塊恰好從M點(diǎn)飛出，則物塊的重力恰好完全提供向心力，設(shè)其速度為v_M，則：
mg=m$\frac{{{v}_{M}}^{2}}{R}$
物塊從N到M，由機(jī)械能守恒定律，得：$\frac{1}{2}$mv_M²+2mgR=$\frac{1}{2}$mv_N²
解得：v_N=5m/s
對(duì)于物塊m在B、N段做勻減速運(yùn)動(dòng)，由x=7t-2t²知初速度v₀=7m/s，a=-4m/s²　
由v_N²-v₀²=-2ax得
 x=3m．　
（2）在N點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$　
解得F_N=12N　
由牛頓第三定律得物塊對(duì)N點(diǎn)的壓力是12N，方向豎直向下．　
（3）物塊由M點(diǎn)水平飛出后，以初速v_M做平拋運(yùn)動(dòng)
水平方向：x_N=v_Mt　
豎直方向：y=2R=gt²　
代入數(shù)據(jù)解得x_N=1m．　
答：（1）B、N間的距離為3m；
（2）在N點(diǎn)，物塊對(duì)軌道的壓力為12N；
（3）物塊離開M點(diǎn)后落至地面時(shí)與N點(diǎn)的距離為1m．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到多個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，主要考查了機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)基本公式、圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的應(yīng)用以及勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，用到的知識(shí)點(diǎn)及公式較多，要注意正確分析物理過程以及受力情況，然后再選擇正確的物理規(guī)律求解即可．