Question

9．在火星表面上以初速度V₀自高h(yuǎn)處水平拋出一小球，水平射程可達(dá)x．已知火星的半徑為R，如果在火星上發(fā)射一顆火星的衛(wèi)星，求：
（1）衛(wèi)星沿火星表面繞行的周期；
（2）火星的密度．

Answer 1

分析 由小球平拋可得火星表面重力加速度，進(jìn)而可以求得衛(wèi)星沿火星表面繞行的周期，火星的質(zhì)量，從而可求火星密度．

解答 解：
（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：x=v₀t，
解得：
g=$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$．
對(duì)火星表面衛(wèi)星：
$mg=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：
T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R{x}^{2}}{2h{v}_{0}^{2}}}$=$\frac{2πx}{{v}_{0}^{2}}\sqrt{\frac{R}{2h}}$．
（2）
在火星表面有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：
$M=\frac{2{R}^{2}h{v}_{0}^{2}}{{Gx}^{2}}$，
故火星密度為：
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2{R}^{2}h{v}_{0}^{2}}{{Gx}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3h{v}_{0}^{2}}{{2GRπx}^{2}}$
答：（1）衛(wèi)星沿火星表面繞行的周期$\frac{2πx}{{v}_{0}^{2}}\sqrt{\frac{R}{2h}}$；
（2）火星的密度$\frac{3h{v}_{0}^{2}}{{2GRπx}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題的關(guān)鍵是利用好平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得火星表面的重力加速度，這是題目給重力加速度的一種常見方式，應(yīng)掌握熟練．