Question

4．2013年12月2日，我國探月工程“嫦娥三號”成功發(fā)射．“嫦娥三號”衛(wèi)星實現(xiàn)了軟著陸、無人探測及月夜生存三大創(chuàng)新．假設為了探測月球，載著登陸艙的探測飛船在以月球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，總質量為m₁．登陸艙隨后脫離飛船，變軌到離月球更近的半徑為r₂的圓軌道上運動，此時登陸艙的質量為m₂．下列說法正確的是（　�。�

• A． 月球的質量M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
• B． 登陸艙在半徑為r₂軌道上運動的周期T₂=T₁$\sqrt{\frac{r_2^3}{r_1^3}}$
• C． 登陸艙在半徑為r₁與半徑為r₂的軌道上運動的線速度之比為$\sqrt{\frac{{{m_1}{r_2}}}{{{m_2}{r_1}}}}$
• D． 月球表面的重力加速度g_月=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 1、根據(jù)萬有引力提供向心力G$\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=${m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r₁，化簡可得月球的質量M；
2、根據(jù)開普勒第三定律$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{\frac{3}{2}}$，化簡可得登陸艙在半徑為r₂軌道上的周期T₂；
3、根據(jù)萬有引力提供向心力G$\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=${m}_{1}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$得，v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$，因此速度之比等于二次方根下半徑的反比；
4、根據(jù)牛頓第二定律m₁r₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$=m₁a₁，化簡可得向心加速度，可以判斷與月球表面的重力加速度的關系．

解答 解：A、根據(jù)G$\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=${m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r₁可得，月球的質量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，A項錯誤；
B、根據(jù)開普勒第三定律$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}={（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）}^{\frac{3}{2}}$可得，T₂=$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$T₁，B項正確；
C、根據(jù)G$\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=${m}_{1}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$得，v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$，同理可得，v₂=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}}}$，所以$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，C項錯誤；
D、根據(jù)m₁r₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$=m₁a₁可得，載著登陸艙的探測飛船的加速度${a}_{1}=\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$，該加速度不等于星球表面的重力加速度，D項錯誤．
故選：B

點評 本題是典型的天體運動的問題，根據(jù)萬有引力提供向心力是解決這類問題的重要的關系，要能根據(jù)題目的要求熟練選擇不同的向心力的表達式