Question

20．為確保公路運(yùn)輸安全暢通，治理“大噸小標(biāo)”、“超載超限”這些運(yùn)輸上的難題．福建省從2007年5月20日16時(shí)開(kāi)始，對(duì)行駛在省內(nèi)高速公路上的載貨類(lèi)汽車(chē)實(shí)施計(jì)重收費(fèi)．一輛在收費(fèi)站稱(chēng)得質(zhì)量m=3000kg的汽車(chē)，以恒定速率通過(guò)半徑為R=10m的拱橋，g取10m/s²．求：
（1）汽車(chē)對(duì)拱橋的壓力為車(chē)重一半時(shí)的速率；
（2）汽車(chē)對(duì)拱橋的壓力為零時(shí)的速率．

Answer 1

分析 （1）汽車(chē)在橋頂，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出汽車(chē)對(duì)拱橋的壓力為車(chē)重的一半時(shí)的速率．
（2）當(dāng)汽車(chē)對(duì)拱橋的壓力為零時(shí)，靠重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出汽車(chē)的速率．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得：$mg-N=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
因?yàn)镹=$\frac{1}{2}mg$，
解得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}gr}=\sqrt{\frac{1}{2}×10×10}=5\sqrt{2}m/s$；
（2）當(dāng)壓力為零時(shí)，重力提供向心力，有：mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×10}$=10m/s．
答：（1）汽車(chē)對(duì)拱橋的壓力為車(chē)重的一半時(shí)的速率為5$\sqrt{2}$m/s；
（2）汽車(chē)對(duì)拱橋的壓力為零時(shí)的速率為10m/s．

點(diǎn)評(píng) 該題考查向心力的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵知道汽車(chē)做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．