Question

10．如圖所示，兩平行光滑金屬導(dǎo)軌由兩部分組成，左面部分水平，右面部分為半徑r=0.5m的豎直半圓，兩導(dǎo)軌間距離d=0.3m，導(dǎo)軌水平部分處于豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，兩導(dǎo)軌電阻不計(jì)．有兩根長度均為d的金屬棒ab、cd，均垂直導(dǎo)軌置于水平導(dǎo)軌上，金屬棒ab、cd的質(zhì)量分別為m₁=0.2kg、m₂=0.1kg，電阻分別為R₁=0.1Ω，R₂=0.2Ω．現(xiàn)讓ab棒以v₀=10m/s的初速度開始水平向右運(yùn)動(dòng)，cd棒進(jìn)入圓軌道后，恰好能通過軌道最高點(diǎn)PP′，cd棒進(jìn)入圓軌道前兩棒未相碰，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）ab棒開始向右運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒的加速度a₀；
（2）cd棒進(jìn)入半圓軌道時(shí)ab棒的速度大小v₁；
（3）cd棒進(jìn)入半圓軌道前ab棒克服安培力做的功W．

Answer 1

分析 （1）利用法拉第電磁感應(yīng)定律求解cd棒切割磁場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)閉合電路定律求出流過ab棒的電流，進(jìn)而求出ab棒所受安培力，再用牛頓第二定律即可求出ab棒的加速度；
（2）把a(bǔ)b棒和cd棒建立系統(tǒng)，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律；對(duì)cd棒進(jìn)入豎直半圓軌道運(yùn)動(dòng)的過程運(yùn)用動(dòng)能定理，最高點(diǎn)重力恰好提供cd棒做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，運(yùn)用牛頓第二定律，聯(lián)立即可求解cd棒進(jìn)入半圓軌道時(shí)ab棒的速度大小v₁；
（3）對(duì)ab棒運(yùn)用動(dòng)能定理即可．

解答 解：（1）ab棒開始向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)回路中電流為I，
根據(jù)導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)有：E=Bdv₀ ①
閉合電路歐姆定律：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$ ②
牛頓第二定律：F_安=m₂a₀ ③
安培力公式：F_安=BId ④
聯(lián)立①②③④式代入題給數(shù)據(jù)得：a₀=$\frac{{B}^{2}7dd1dxt^{2}{v}_{0}}{{m}_{2}（{R}_{1}{+R}_{2}）}$=$\frac{{1}^{2}×0．{3}^{2}×10}{0.1×（0.1+0.2）}$=30m/s²
（2）設(shè)cd棒剛進(jìn)入圓形軌道時(shí)的速度為v₂，ab開始運(yùn)動(dòng)至cd即將進(jìn)入圓弧軌道的過程，
對(duì)ab和cd組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂ ⑤
ab棒進(jìn)入圓軌道至最高點(diǎn)的過程，對(duì)cd棒運(yùn)用動(dòng)能定理得：-m₂g•2r=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{p}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$⑥
在半圓軌道的P點(diǎn)對(duì)cd棒運(yùn)用牛頓第二定律可得：m₂g=m₂$\frac{{v}_{p}^{2}}{r}$ ⑦
⑤⑥⑦式子聯(lián)立得：v₁=$\frac{{m}_{1}{v}_{0}-{m}_{2}•\sqrt{5gr}}{{m}_{1}}$=$\frac{0.2×10-0.1×\sqrt{5×10×0.5}}{0.2}$=7.5m/s ⑧
（3）cd棒進(jìn)入半圓軌道前對(duì)ab棒運(yùn)用動(dòng)能定理可得：W=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$ ⑨
⑧⑨聯(lián)立代入題給數(shù)據(jù)得：W=$\frac{1}{2}×0.2×1{0}^{2}-\frac{1}{2}×0.2×7．{5}^{2}$=4.375J
答：（1）ab棒開始向右運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒的加速度為30m/s²；
（2）cd棒進(jìn)入半圓軌道時(shí)ab棒的速度大小為7.5m/s；
（3）cd棒進(jìn)入半圓軌道前ab棒克服安培力做的功為4.375J．

點(diǎn)評(píng) 本題較為綜合，考查重點(diǎn)是導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)的雙桿模型，分析兩棒組成的系統(tǒng)，只受內(nèi)力安培力作用，不受外力作用，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒；除此之外本題還涉及到牛頓第二定律，閉合電路歐姆定律，豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)的模型；解題時(shí)要分好過程，選好研究對(duì)象，選擇合適的規(guī)律解決問題．