Question

8．如圖所示，在xOy平面的第一象限有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)的方向平行于y軸向下，電場(chǎng)的大小為E（未知）．在x軸和第四象限的射線OC之間有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B（未知），方向垂直于紙面向外．有一質(zhì)量為m，帶有電荷量+q的質(zhì)點(diǎn)以速率v₀由y軸上P點(diǎn)平行于x軸射入電場(chǎng)，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)x軸上A點(diǎn)時(shí)速率為2v₀，速度方向與x軸的夾角為φ（未知），A點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為d，接著質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，并垂直于OC飛離磁場(chǎng)，不計(jì)重力影響，若OC與x軸的夾角也為φ，求
（1）φ=60°；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qd}$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律由速度的合成與分解求得夾角的大��；
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律粒子在電場(chǎng)中的加速度，再根據(jù)牛頓第二定律求得電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（3）作出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系求得粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑根據(jù)洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．

解答 解：（1）質(zhì)點(diǎn)在電場(chǎng)中在電場(chǎng)力作用下做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在P點(diǎn)的速率為v₀，方向平行于x軸射入電場(chǎng)，在A點(diǎn)時(shí)的速率為2v₀，則有：
$\frac{{v}_{P}}{{v}_{A}}=\frac{{v}_{0}}{2{v}_{0}}=cosφ$
所以可得φ=60°
（2）設(shè)從P點(diǎn)到A點(diǎn)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
則有${v}_{A}=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
可得質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)${v}_{y}=\sqrt{3}{v}_{0}$
水平方向有：d=v₀t
可得粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac99tftdn{{v}_{0}}$
豎直方向有：$y=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{0}t=\frac{\sqrt{3}}{2}d$
又在豎直方向：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
聯(lián)立解得：E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qd}$
（3）質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如右圖所示

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為一圓弧，質(zhì)點(diǎn)飛離磁場(chǎng)時(shí)，速度垂直于OC，故圓弧的圓心在OC上，依題意，質(zhì)點(diǎn)軌跡與x軸的交點(diǎn)為A，過(guò)A點(diǎn)作與A點(diǎn)速度方向垂直的直線與OC交于O'，由幾何關(guān)系知，AO'垂直于OC，O'是圓弧的圓心，設(shè)圓弧的半徑為R則有：
R=dsinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}d$
由洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得B=$\frac{mv}{qR}$=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$
故答案為：60°；$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{qd}$；$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qd}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為電荷在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題目，在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一般以平拋為主，而在圓周運(yùn)動(dòng)中主要考查勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)注意找出圓心和半徑；同時(shí)要注意題目中哪些為已知量哪些為未知量．