Question

14．已知月球半徑為R，飛船在距月球表面高度為R的圓軌道上飛行，周期為T，萬有引力常量為G，下列說法正確的是（　�。�

• A． 月球質(zhì)量為$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 月球表面重力加速度為$\frac{8{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
• C． 月球密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 月球第一宇宙速度為$\frac{4πR}{T}$

Answer 1

分析 飛船繞月球飛行做勻速圓周運動，由萬有引力提供圓周運動向心力，據(jù)此討論分析即可．

解答 解：飛船在距月球表面高度為R的圓軌道上飛行時的軌道半徑r=R+R=2R
A、據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}=\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A正確；
B、據(jù)月球表面重力與萬有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，可得月球表面重力加速度g=$G\frac{M}{{R}^{2}}=\frac{32{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，故B錯誤；
C、根據(jù)密度公式可知，月球密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{24{π}^{2}}{G{T}^{2}}$，故C錯誤；
D、據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力可得近月圓周運動的速度即第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{32{π}^{2}{R}^{2}}{{T}^{2}}}=4\sqrt{2}\frac{πR}{T}$，故D錯誤．
故選：A．

點評 掌握萬有引力提供圓周運動向心力和在月球表面重力與萬有引力相等是解決問題的關鍵，本題易錯點在于對星球半徑與飛船軌道半徑的確認．