Question

6．如圖，質量m=1.0kg的物體（可視為質點）以v₀=10m/s的初速度從水平面的某點向右運動并沖上半徑R=1.0m的豎直光滑半圓環(huán)，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．求：
（1）物體能從M點飛出，落到水平面時落點到N點的距離的最小值為多大？
（2）如果物體從某點出發(fā)后在半圓軌道運動過程途中離開軌道，求出發(fā)點到N點的距離x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小球離開M做平拋運動，根據(jù)到達M的臨界條件求出小球平拋的初速度，根據(jù)平拋規(guī)律求得最小距離；
（2）小球在運動過程中途離開軌道則根據(jù)臨界條件小球在軌道上上升的高度大于半徑而小于到達M的臨界速度，根據(jù)動能定理求得x的取值范圍．

解答 解：（1）物體恰好能從M點飛出，有：
$mg=m\frac{{v}_{min}^{2}}{R}$…①
由平拋運動知：y_min=v_mint…②
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$…③
解①②③得：y_min=2m…④
（2）（Ⅰ）物體在水平距離運動最短距離時有恰好從M離開半圓軌道，即物體恰好從M點飛出，物體從出發(fā)點到M過程．
由動能定理：$-μmg{x}_{min}-mg2R=\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑤
解①⑤得：x_min=5m…⑥
（Ⅱ）物體在水平面上運動足夠長時，則當物體剛好至圓軌道圓心等高處速度為0，
由動能定理：$-μmg{x}_{max}-mgR=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑦
解⑦得：x_max=8m…⑧
所以要想從MN中途離開軌道，則物體在水平面上滑動的距離滿足：8m＞x＞5m
答：（1）物體能從M點飛出，落到水平面時落點到N點的距離的最小值為2m；
（2）如果物體從某點出發(fā)后在半圓軌道運動過程途中離開軌道，出發(fā)點到N點的距離x的取值范圍為8m＞x＞5m．

點評 掌握豎直面內小球做圓周運動通過最高點的臨界條件是正確解題的關鍵，小球能從軌道中途離開軌道，則小球離開軌道位置必在MN之間，根據(jù)到達MN點的臨界條件由動能定理求解小球在水平面上運動的距離范圍．