Question

18．“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星于2013年12月2日1點(diǎn)30分在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，將實(shí)現(xiàn)“落月”的新階段．若已知引力常量G，月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r₁、周期T₁，“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的環(huán)月軌道（見(jiàn)圖）半徑r₂、周期T₂，不計(jì)其他天體的影響，則根據(jù)題目條件可以（　�。�

• A． 求出“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星的質(zhì)量
• B． 求出地球與月球之間的萬(wàn)有引力
• C． 求出地球的密度
• D． 得出$\frac{{r}_{1}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{{r}_{2}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式，化簡(jiǎn)可得月球和地球的質(zhì)量．根據(jù)萬(wàn)有引力定律分析計(jì)算地球與月球之間的引力．

解答 解：A、“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力得：G$\frac{{M}_{月}m}{{r}_{2}^{2}}$=m$（{\frac{2π}{{T}_{2}}）}^{2}$r₂，可知衛(wèi)星的質(zhì)量m在等式兩邊約掉，只能得到月球的質(zhì)量：M_月=$\frac{4{π}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$，故A錯(cuò)誤．
C、根據(jù)月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁、周期為T(mén)₁，由萬(wàn)有引力提供向心力得：G$\frac{{M}_{地}{M}_{月}}{{r}_{1}^{2}}$=M_月$（\frac{2π}{{T}_{1}}）^{2}$r₁，解得：M_地=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，但地球的半徑未知，不能求出地球的密度，故C錯(cuò)誤．
B、由上求出月球和地球的質(zhì)量，又月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁，根據(jù)萬(wàn)有引力定律可求得地球與月球之間的引力，故B正確．
D、由前兩項(xiàng)結(jié)果知：$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{G{M}_{地}}{4{π}^{2}}$，$\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$=$\frac{G{M}_{月}}{4{π}^{2}}$，由開(kāi)普勒第三定律可得：$\frac{{r}_{1}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$≠$\frac{{r}_{2}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題是典型的天體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力是解決這類(lèi)問(wèn)題的重要的關(guān)系，要能根據(jù)題目的要求熟練選擇不同的向心力的表達(dá)式．