Question

7．如圖所示的裝置為一個光滑圓弧軌道與水平軌道相連，小物塊A、B質(zhì)量均為m，水平軌道上PQ段長為l與小物塊間的動摩擦因數(shù)為μ，其余段光滑．初始時，輕質(zhì)彈簧處于原長，其左端帶有輕質(zhì)擋板靜止于Q點，輕質(zhì)彈簧右端固定在O點；小物塊A從光滑圓弧軌道上高為h處無初速度滑下，與靜止在光滑圓弧軌道末端的B發(fā)生完全非彈性碰撞，之后A、B一起向右運動，不再返回P點左側(cè)．
（1）求A與B碰后兩者的速度和碰撞過程中損失的機械能；
（2）若A、B一起運動一段時間后靜止下來，在此過程中A、B整體與彈簧有一次相互作用，求h的取值范圍．（彈簧始終在彈性限度內(nèi)，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）

Answer 1

分析 （1）A到B的過程中重力做功，機械能守恒；A與B碰撞的過程中系統(tǒng)的動量守恒，系統(tǒng)損失的機械能為減小的動能；
（2）A、B整體與彈簧有一次相互作用，可能恰好到達(dá)Q，也可能返回圓弧面后，再次恰好到達(dá)Q，由此即可解答．

解答 解：（1）滑塊下滑的過程中機械能守恒，得：$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
整理得：${v}_{1}=\sqrt{2gh}$
與B發(fā)射碰撞的過程中動量守恒，選取向右為正方向，則：mv₁=2mv₂
所以：${v}_{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$  ①
碰撞的過程中損失的機械能：$△E=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
整理得：$△E=\frac{1}{2}mgh$
（2）AB整體滑上PQ后，若恰好到達(dá)Q，則有：$-μ（2m）gl=0-\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
解得：${v}_{2}=\sqrt{2μgl}$  ②
聯(lián)立①②得：h₁=4μl
若AB返回圓弧面后，一起下滑并再次恰好到達(dá)Q，則：$-μ（2m）g（3l）=0-\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
整理得：${v}_{2}=\sqrt{6μgl}$  ③
聯(lián)立①③得：h₂=12μl
故高度h的范圍：4μl≤h≤12μl
答：（1）求A與B碰后兩者的速度和碰撞過程中損失的機械能是$\frac{1}{2}$mgh；
（2）若A、B一起運動一段時間后靜止下來，在此過程中A、B整體與彈簧有一次相互作用，求h的取值范圍是4μl≤h≤12μl．

點評 該題中，A與靜止在光滑圓弧軌道末端的B發(fā)生完全非彈性碰撞，說明碰撞后它們的速度是相等的．