Question

20．如圖所示，一根有一定電阻的直導(dǎo)體棒質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)，其兩端放在位于水平面內(nèi)間距也為L(zhǎng)的光滑平行導(dǎo)軌上，并與之接觸良好；棒左側(cè)兩導(dǎo)軌之間連接一可控電阻；導(dǎo)軌置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌所在平面．t=0時(shí)刻，給導(dǎo)體棒一個(gè)平行于導(dǎo)軌的初速度，此時(shí)可控電阻的阻值為R₀．在棒運(yùn)動(dòng)過程中，通過可控電阻的變化使棒中的電流強(qiáng)度保持恒定．不計(jì)導(dǎo)軌電阻，導(dǎo)體棒一直在磁場(chǎng)中
（1）導(dǎo)體棒做什么運(yùn)動(dòng)？求可控電阻R隨時(shí)間t變化的關(guān)系式；
（2）若已知棒中電流強(qiáng)度為I，求0～t時(shí)間內(nèi)可控電阻上消耗的平均功率P；
（3）若在棒的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中將題中的可控電阻改為阻值為R₀的定值電阻，則棒將減速運(yùn)動(dòng)位移x₁后停下，而由題中條件，棒將運(yùn)動(dòng)位移x₂后停下，求$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）使棒中的電流強(qiáng)度保持恒定，結(jié)合歐姆定律知I=$\frac{E}{{R}_{0}+r}$為定值，由于棒做勻減速運(yùn)動(dòng)，故感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間減小，由此的到R隨時(shí)間的變化關(guān)系；
（2）電阻隨時(shí)間均勻減小，故電阻的功率可用平均功率等效代替，P=I²•$\frac{R+{R}_{0}}{2}$．
（3）將可控電阻改為定值電阻R₀，棒將變減速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式，求出x₁．由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出x₂，即可解答．

解答 解：（1）因棒中的電流強(qiáng)度保持恒定，棒所受的安培力一定，故棒做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．           
設(shè)棒的電阻為r，電流為I，其初速度為v₀，加速度大小為a，經(jīng)時(shí)間t后，棒的速度變?yōu)関，
則有：v=v₀-at                                
而a=$\frac{BIL}{m}$                                     
t=0時(shí)刻棒中電流為：I=$\frac{BL{v}_{0}}{{R}_{0}+r}$                        
經(jīng)時(shí)間t后棒中電流為：I=$\frac{BLv}{R+r}$                       
由以上各式得：R=R₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{m}t$                       
（2）因可控電阻R隨時(shí)間t均勻減小，故所求功率為：P=I²•$\frac{R+{R}_{0}}{2}$            
由以上各式得：P=I²（$\frac{{B}^{2}{L}^{2}t}{2m}$）                            
（3）將可控電阻改為定值電阻R₀，棒將變減速運(yùn)動(dòng)．
則通過金屬棒的電荷量 q=$\overline{I}$t′
又 $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{{R}_{0}+r}$，$\overline{E}$=BL$\overline{v}$
而x₁=$\overline{v}$t′
聯(lián)立得 q=$\frac{BL{x}_{1}}{{R}_{0}+r}$
根據(jù)動(dòng)量定理得：
-B$\overline{I}$Lt′=0-mv₀；
即BLq=mv₀；
聯(lián)立可得 x₁=$\frac{m{v}_{0}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
而x₂=$\frac{{v}^{2}}{2a}$
由以上各式得 x₂=$\frac{m{v}_{0}（{R}_{0}+r）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$                    
則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2}{1}$
答：
（1）導(dǎo)體棒做做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，可控電阻R隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為 R=R₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{m}t$；
（2）若已知棒中電流強(qiáng)度為I，0～t時(shí)間內(nèi)可控電阻上消耗的平均功率P為I²（$\frac{{B}^{2}{L}^{2}t}{2m}$）；
（3）$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值為$\frac{2}{1}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道分析導(dǎo)體棒受力情況，應(yīng)用閉合電路歐姆定律和牛頓第二定律求解，注意對(duì)于非勻變速運(yùn)動(dòng)求位移，要用平均速度與時(shí)間相乘，熟練推導(dǎo)出電荷量與位移的關(guān)系以及動(dòng)量定理，從而求解位移．