Question

4．如圖（a）所示，MN是長(zhǎng)為a傾斜放置的光滑絕緣細(xì)桿，傾角為37°，MNP構(gòu)成一直角三角形．MP中點(diǎn)處固定一電量為Q的正電荷，桿上穿有一帶正電的小球（可視為點(diǎn)電荷），小球自N點(diǎn)由靜止釋放，小球的重力勢(shì)能和電勢(shì)能隨MN上位置x（取M點(diǎn)處x=0）的變化圖象如圖（b）所示，其中E₀、E₁、E₂為已知量，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，靜電力常量為k，重力加速度為g．（不得使用E_p=-$\frac{k{q}_{1}{q}_{2}}{r}$）
（1）求勢(shì)能為E₁時(shí)的橫坐標(biāo)x₁和帶電小球的質(zhì)量m
（2）已知在x₁處時(shí)小球與桿間的彈力恰好為零，求小球的電量q
（3）求小球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）由幾何關(guān)系求出x₁的位置坐標(biāo)，利用E₁=mgh即可求小球的質(zhì)量；
（2）根據(jù)受力分析利用垂直于斜面方向合力為零，由庫(kù)侖定律和平衡條件列式，即可求的電荷量q；
（3）對(duì)于小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，利用動(dòng)能定理求到M點(diǎn)時(shí)的速度．

解答 解：（1）根據(jù)Q電荷的電場(chǎng)線的分布可知電場(chǎng)力先對(duì)帶電小球做負(fù)功，后做正功，故電勢(shì)能先增大后減小，故圖（b）中表示電勢(shì)能隨位置變化的是圖線Ⅱ．
勢(shì)能為E₁時(shí)的橫坐標(biāo)為：x₁=acos37°•$\frac{1}{2}$•cos37°=0.32a               
x₁處重力勢(shì)能為：E₁=mgx₁sin37°             
則有：m=$\frac{{E}_{1}}{g{x}_{1}sin37°}$=$\frac{{E}_{1}}{0.192ga}$=$\frac{125{E}_{1}}{24ga}$
（2）在x₁處，根據(jù)受力分析可知
 k$\frac{Qq}{{r}^{2}}$=mgcos37°，其中r=x₁tan37°=0.24a      
帶入數(shù)據(jù)，得：q=$\frac{6{E}_{1}a}{25kQ}$                    
（3）根據(jù)動(dòng)能定理有：mga sin37°+E₂-E₀=$\frac{1}{2}$mv²       
帶入數(shù)據(jù)，得：v=$\sqrt{\frac{150{E}_{1}+48{E}_{2}-48{E}_{0}}{125{E}_{1}}ga}$
答：（1）勢(shì)能為E₁時(shí)的橫坐標(biāo)x₁和帶電小球的質(zhì)量m分別為0.32a、$\frac{125{E}_{1}}{24ga}$．
（2）小球的電量q為$\frac{6{E}_{1}a}{25kQ}$．
（3）小球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{150{E}_{1}+48{E}_{2}-48{E}_{0}}{125{E}_{1}}ga}$．

點(diǎn)評(píng) 分析電場(chǎng)的分布情況及小球的運(yùn)動(dòng)情況，通過(guò)電場(chǎng)力做功來(lái)判斷電勢(shì)能的變化從而判斷出圖象，再根據(jù)平衡條件和動(dòng)能定理進(jìn)行處理．