Question

13．如圖所示，兩根質量均為2kg的金屬棒ab、cd靜止放在光滑的水平導軌上，左、右兩部分導軌間距之比為1：2，導軌間有強度相等、方向相反的勻強磁場，兩棒的電阻之比R_ab：R_cd=1：2，導軌足夠長且電阻忽略不計．若用250N的水平力向右拉cd棒，在cd棒開始運動0.5m的過程中，cd棒上產生的焦耳熱為30J，cd棒運動0.5m后立即撤去拉力，這時兩棒速度大小之比v_ab：v_cd=1：2，求：
（1）撤去外力時兩棒的速度是多大？
（2）最終電路中產生的總的焦耳熱是多少？

Answer 1

分析 （1）在有拉力F作用過程，cd棒上產生的焦耳熱為Q=30J，根據(jù)焦耳定律和電阻之比，可求得ab棒上的產生熱量Q′，根據(jù)功能關系和條件：v_ab：v_cd=1：2列式，即可求得撤去F時，兩棒的速度．在穩(wěn)定運動時兩棒產生的感應電動勢相等，回路中感應電流為零，兩棒都做勻速運動．撤去拉力F之后到最終穩(wěn)定運動過程，運用動量定理，分別對兩棒列式，即可求得兩棒的最終速度v_b，v_c．
（2）根據(jù)能量守恒定律求解回路中產生的總焦耳熱．再求ab棒中產生的總焦耳熱Q．

解答 解：（1）由焦耳定律Q=I²Rt，I、t相等，R_ab：R_cd=1：2，得兩棒上產生的焦耳熱之比 Q_ab：Q_cd=1：2
可知ab棒上的生熱為 Q_ab=$\frac{1}{2}$Q_cd=$\frac{1}{2}$×30J=15J，
故Q=Q_ab+Q_cd=45J
cd棒運動0.5m的過程中，由功能關系有：Fs=$\frac{1}{2}$mv_ab²+$\frac{1}{2}$mv_cd²+Q
又F對cd做的功 W=Fs=250×0.5J=125J．
所以$\frac{1}{2}$mv_ab²+$\frac{1}{2}$mv_cd²=80J
又v_ab：v_cd=1：2，所以撤去外力時兩棒的速度分別為：
   v_ab=4m/s，v_cd=8m/s
（2）由公式F=BIL知，任一時刻都有2F_ab=F_cd，則2$\overline{{F}_{ab}}$=$\overline{{F}_{cd}}$
由動量定律得
對ab棒：$\overline{{F}_{ab}}$t=m（v′_ab-v_ab）
對cd棒：-$\overline{{F}_{cd}}$t=m（v′_cd-v_cd）
在穩(wěn)定運動時有：BL_abv′_ab=BL_cdv′_cd
且2L_ab=L_cd，聯(lián)立解得：v′_cd=3.2m/s，v′_ab=6.4m/s
所以電路中產生的總的焦耳熱為：Q′=Fs-$\frac{1}{2}$mv′_ab²-$\frac{1}{2}$mv′_cd²
代入數(shù)據(jù)解得 Q′=73.8J
答：（1）撤去外力時兩棒ab、cd的速度各是4m/s和8m/s．
（2）最終電路中產生的總的焦耳熱是73.8J．

點評 本題是電磁感應與力學知識的綜合應用，關鍵要抓住穩(wěn)定時，兩棒的感應電動勢相等，都做勻速運動，運用動量定理求速度．