Question

14．如圖所示，一不可伸長的輕質(zhì)細繩，繩長為L，一端固定于O點，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球繞O點在豎直平面內(nèi)做圓周運動（不計空氣阻力）．
（1）若小球恰好通過最高點A且懸點距地面的高度h=2L，小球經(jīng)過B點或D點時繩突然斷開，求兩種情況下小球從拋出到落地所用時間之差△t；
（2）若小球通過最高點A時的速度為v，小球運動到最低點C或最高點A時，繩突然斷開，兩種情況下小球從拋出到落地水平位移大小相等，則O點距離地面高度h與繩長L之間應(yīng)滿足什么關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）小球恰好通過最高點可得在最高點A時的速度，根據(jù)動能定理可得小球在B和D時的速度大小，小球在B和D斷開繩時分別做豎直上拋和下拋運動，根據(jù)運動學規(guī)律求得落地時間差；
（2）小球在最高點呀最低點繩斷開時做平拋運動，根據(jù)拋出點的高度和速度由射程相等進行分析求解即可．

解答 解：（1）若小球恰好通過最高點的速度為：${v}_{A}=\sqrt{gl}$，
$mgl=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$                                           
BD點等高，可知：${v}_{B}={v}_{D}=v=\sqrt{3gl}$                                        
從B點、D點小球分別豎直上拋和豎直下拋，則有：
$△t=\frac{2{v}_{B}}{g}$=$\frac{2\sqrt{3gl}}{g}$
（2）小球運動到最高點繩斷開后平拋運動時間為t，則有：
$h+l=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=vt
小球運動到最低點v′，繩突然斷開后小球做平拋運動時間為t′，則有：
$h-l=\frac{1}{2}gt{′}^{2}$
x′=v′t′
由機械能守恒定律得：$2mgl+\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$                           
又x=x′
聯(lián)立上述各式解得：$h=\frac{v{′}^{2}}{2g}-l$                                
小球運動到最高點時有：$v≥\sqrt{gl}$
由機械能守恒定律有：$2mgl+\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
小球運動到最低點時速度有：$v′≥\sqrt{5gl}$                          
故$h=\frac{v{′}^{2}}{2g}-l$，
得：h≥$\frac{3l}{2}$
答：（1）若小球恰好通過最高點A且懸點距地面的高度h=2L，小球經(jīng)過B點或D點時繩突然斷開，兩種情況下小球從拋出到落地所用時間之差△t為$\frac{2\sqrt{3gl}}{g}$；
（2）若小球通過最高點A時的速度為v，小球運動到最低點C或最高點A時，繩突然斷開，兩種情況下小球從拋出到落地水平位移大小相等，則O點距離地面高度h與繩長L之間應(yīng)滿足h≥$\frac{3l}{2}$．

點評 本題是圓周運動與平拋運動的綜合，運用牛頓運動定律和機械能守恒結(jié)合進行研究，對于平拋運動，也可以運用分解的方法求小球落地速度．