Question

18．如圖，可視為質(zhì)點的兩個小球A和B分別系在一根不可伸長的輕繩兩端，A球質(zhì)量m_A大于B球質(zhì)量m_B．輕繩跨在一個光滑半圓柱體上，半圓柱體固定在上表面水平的支架上，繩的長度恰為半圓弧長的$\frac{2}{3}$．初始時，A、B球等高，將兩球從靜止釋放，當(dāng)B球到達(dá)半圓上最高點C時，它對半圓柱體的壓力剛好等于其重力的一半，求m_A：m_B．

Answer 1

分析 先幾何關(guān)系求出B到達(dá)C點時B上升的高度和A下降的高度．由牛頓第二定律求出B球到達(dá)C點時的速度，再由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解．

解答 解：設(shè)半圓的圓心為O，半徑為R，初始時∠COB=θ，由已知條件可得
  θ=$\frac{π}{3}$
設(shè)當(dāng)B球到達(dá)C時速度為v，此時A球的高度下降了h_A，B球的高度上升
為h_B． 
由幾何關(guān)系得：
  h_A=Rcosθ+$\frac{θ}{2}R$
  h_B=R（1-cosθ） 
由機(jī)械能守恒定律得：m_Agh_A-m_Bgh_B=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}$
B球在C點，有：m_Bg-$\frac{1}{2}$m_Bg=${m}_{B}\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 m_A：m_B=（$\frac{1}{3}+\frac{2π}{9}$）：1
答：m_A：m_B為（$\frac{1}{3}+\frac{2π}{9}$）：1．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道單個物體由于有拉力做功，機(jī)械能不守恒，對于系統(tǒng)而言，只有重力做功，機(jī)械能守恒．