Question

5．在科學研究中，可以通過加適當?shù)拇艌鰜韺崿F(xiàn)對帶電粒子運動的控制，如圖甲所示的xoy平面處于磁場中，磁場與xoy平面垂直，磁感應強度B隨時間t做周期性變化，如圖乙所示，一質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的粒子（不計重力）以初速度V₀由O點沿x軸正方向射入磁場．各物理量滿足t₀=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$．

（1）若t=0時粒子射入磁場，求t=t₀時粒子的位置坐標．
（2）若粒子在某一時刻t′射入磁場，粒子不會穿越x軸，且其縱坐標始終不超過某一定值y₀．

Answer 1

分析 帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，得出粒子運動的半徑公式與周期公式，即可求出t=0時粒子射入磁場，求t=t₀時粒子的位置坐標，以及t′．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，得：$qv{B}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：$r=\frac{mv}{q{B}_{0}}$
則：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
由于：t₀=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$=$\frac{1}{6}$T
所以若t=0時粒子射入磁場，t=t₀時粒子偏轉(zhuǎn)的角度是60°，如圖，由幾何關(guān)系得：

$x=r•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{\sqrt{3}mv}{q{B}_{0}}$；$y=r（1-cos60°）=0.5r=\frac{mv}{2q{B}_{0}}$
即坐標為：（$\frac{\sqrt{3}mv}{q{B}_{0}}$，$\frac{mv}{2q{B}_{0}}$）
（2）由于粒子在0-t₀時間內(nèi)向上偏轉(zhuǎn)，t₀-2t₀時間內(nèi)做勻速直線運動，在2t₀-3t₀時間內(nèi)向下偏轉(zhuǎn)，在3t₀-4t₀時間內(nèi)做勻速直線運動…，粒子的運動具有周期性，若粒子不會穿越x軸，則粒子在運動的第一個周期內(nèi)就不會穿越x軸，所以向上運動的時間要大于等于向下運動的時間，則粒子開始運動的時刻要在$\frac{1}{2}$t₀之前；
若其縱坐標始終不超過某一定值，則粒子在運動的第一個周期內(nèi)向上運動的時間要小于等于向下運動的時間，則粒子開始運動的時刻要在$\frac{1}{2}$t₀之后；
總上所述，可知，要同時滿足粒子不會穿越x軸，且其縱坐標始終不超過某一定值y₀．粒子開始運動的時刻要是$\frac{1}{2}$t₀時刻．
答：（1）若t=0時粒子射入磁場，t=t₀時粒子的位置坐標是（$\frac{\sqrt{3}mv}{q{B}_{0}}$，$\frac{mv}{2q{B}_{0}}$）．
（2）若粒子在某一時刻t′射入磁場，粒子不會穿越x軸，且其縱坐標始終不超過某一定值y₀．t′必須是$\frac{1}{2}$t₀時刻．

點評 本題是帶電粒子在復合場中運動的問題，分析粒子的受力情況，確定其運動情況，關(guān)鍵是運用幾何知識求解坐標．