Question

14．已知地球半徑為R，萬有引力常量為G，地球同步通信衛(wèi)星的周期為T，它離底面的高度約為地球半徑的6倍，求：
（1）地球的平均密度；
（2）若某行星的平均密度是地球的平均密度的$\frac{1}{7}$，其半徑是地球半徑的9倍，則該行星的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

分析 地球同步通信衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力由萬有引力提供，代入數(shù)據(jù)化簡可得地球的質(zhì)量，再求出地球的平均密度；
第一宇宙速度是近地繞行星圓周運動的線速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求出第一宇宙速度的表達式，據(jù)此分析即可．

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球同步通信衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球同步通信衛(wèi)星的軌道半徑為r，r=7R．
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
解得：M=$\frac{137{{2π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$
地球的平均密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{1029π}{{GT}^{2}}$，
（2）令中心天體質(zhì)量為M，半徑為R，第一宇宙速度為v，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{4πG{ρR}^{2}}{3}}$
某行星的平均密度是地球的平均密度的$\frac{1}{7}$，其半徑是地球半徑的9倍，則該行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{81}{7}}$倍，
所以該行星的第一宇宙速度是：v′=26.86km/s，
答：（1）地球的平均密度是$\frac{1029π}{{GT}^{2}}$；
（2）該行星的第一宇宙速度是26.86km/s．

點評 本題要掌握衛(wèi)星繞中心天體運動的向心力由萬有引力提供$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，根據(jù)題目能夠選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_式．
抓住第一宇宙速度的物理意義，并由此推導(dǎo)出第一宇宙速度與中心天體質(zhì)量和半徑的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵突破口．