Question

17．如圖所示，在第一象限內(nèi)+x軸與OC之間分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，+y軸與OC之間分布有沿+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．+x軸上與O點(diǎn)相距為d處有一粒子源S．某一時(shí)刻，從S平行于紙面向各個(gè)方向發(fā)射出大量帶正電的同種粒子（不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用），所有粒子的初速度大小相等．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間有大量粒子從邊界OC射出磁場(chǎng)，已知OC與+x軸夾角為60°．從邊界OC射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間等于$\frac{T}{6}$（T為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期．為已知量）．求：
（1）從邊界OC射比的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間？
（2）若在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間的粒子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)后打在y軸上與O點(diǎn)相距為（$\sqrt{3}$+1）d，求場(chǎng)強(qiáng)E與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的比值？

Answer 1

分析 粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間根據(jù)公式$t=\frac{θ}{2π}T$，軌跡圓心角最小時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，軌跡弦最短，即S到OC邊距離最短，運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間$t=\frac{T}{6}$，圓心角為60°，半徑與弦長(zhǎng)相，因?yàn)樗�有粒子的初速度大小相等，半徑相等，從邊界OC射出的粒子時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)，弦最長(zhǎng)，最長(zhǎng)弦等于直徑即SP=2R，根據(jù)幾何關(guān)系，SP⊥OA，從而求出最長(zhǎng)時(shí)間：時(shí)間最長(zhǎng)的粒子進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出E和B的比值．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
得：$r=\frac{mv}{qB}$
粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{θ}{2π}T$，時(shí)間最短的粒子軌跡圓心角最小，軌跡弦最短，即S到OC邊的距離最短
${t}_{min}^{\;}=\frac{T}{6}$，圓心角等于60°，r=SQ
時(shí)間最長(zhǎng)帶電粒子軌跡弦最長(zhǎng)，SP=2r，根據(jù)幾何關(guān)系知SP⊥OA，如圖
所以從邊界OC射出的粒子運(yùn)動(dòng)得最長(zhǎng)時(shí)間${t}_{max}^{\;}=\frac{T}{2}$
（2）進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求得SP=$\sqrt{3}d$，
水平位移：x=d=vt…①
豎直位移：$y=（\sqrt{3}+1）d-\sqrt{3}d=\frac{1}{2}（\frac{qE}{m}）{t}_{\;}^{2}②$
聯(lián)立①②得：$E=\frac{2m{v}_{\;}^{2}}{qd}$…③
在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)SP=2r=$\sqrt{3}d$，得：$r=\frac{\sqrt{3}}{2}d$…④
帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$得：$r=\frac{mv}{qB}$…⑤
聯(lián)立④⑤得：$\frac{\sqrt{3}d}{2}=\frac{mv}{qd}$
解得：$B=\frac{2mv}{\sqrt{3}qd}$…⑥
$\frac{E}{B}=\sqrt{3}v$…⑦
根據(jù)$v=\frac{2πr}{T}$=$\frac{2π×\frac{\sqrt{3}d}{2}}{T}=\frac{\sqrt{3}πd}{T}$…⑧

⑧代入⑦得：$\frac{E}{B}=\frac{3πd}{T}$
答：（1）從邊界OC射比的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間$\frac{T}{2}$
（2）若在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間的粒子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)后打在y軸上與O點(diǎn)相距為（$\sqrt{3}$+1）d，求場(chǎng)強(qiáng)E與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的比值$\frac{3πd}{T}$

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，涉及的知識(shí)點(diǎn)非常多，關(guān)鍵是根據(jù)題目要求，正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑以及類平拋的水平和豎直位移．