Question

15．如圖甲所示，固定在水平桌邊上的L雙軌型平行金屬導(dǎo)軌足夠長，傾角為θ=53°，間距L=2m，電阻不計(jì)；導(dǎo)軌上兩根金屬棒ab、cd的阻值分別為R₁=25Ω，R₂=4Ω，ab棒的質(zhì)量m₁=5.0kg，cd棒質(zhì)量m₂=1.0kg，ab與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=$\frac{2}{15}$，cd與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.5，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，整個(gè)導(dǎo)軌置于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5T、方向垂直傾斜導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中．現(xiàn)讓ab棒從導(dǎo)軌上離桌面某一高度處由靜止釋放，當(dāng)它剛要滑出導(dǎo)軌時(shí)，cd棒也恰好開始滑動(dòng)，且ab棒下滑階段，通過ab棒的電荷量為q=2C；g取10m/s²．求
（1）ab棒剛要滑出導(dǎo)軌時(shí)的速度
（2）在ab棒整個(gè)下滑階段，ad棒中產(chǎn)生的熱量；
（3）若ab棒無論從多高的位置釋放，cd棒都不動(dòng)，求ab棒質(zhì)量滿足的條件？

Answer 1

分析 （1）因兩棒串聯(lián)，所以兩棒所受安培力大小相等，對(duì)cd棒分析，結(jié)合平衡，以及切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢公式和歐姆定律求出cd棒恰好開始滑動(dòng)時(shí)，ab棒的速度．
（2）根據(jù)電量的表達(dá)式q=n$\frac{△Φ}{{R}_{總}}$求出ab棒下滑的距離．對(duì)整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)用功能關(guān)系求出整個(gè)電路產(chǎn)生的熱量，從而得出cd棒上產(chǎn)生的熱量．
（3）抓住ab棒勻速運(yùn)動(dòng)，cd棒都未滑動(dòng)，分別對(duì)ab棒和cd棒分析，抓住cd棒安培力在水平方向上的分力小于最大靜摩擦力，求出ab棒質(zhì)量滿足的條件．

解答 解：（1）因兩棒串聯(lián)，所以兩棒所受安培力大小相等，
在cd棒剛滑動(dòng)時(shí)，設(shè)ab棒的速度為v，此時(shí)對(duì)cd棒有：
BILsin37°=μ₂（m₂g+BILcos37°），
感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{BLv}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=1.5m/s；
（2）設(shè)ab棒下滑的距離為x，
則：q=$\frac{BLx}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，代入數(shù)據(jù)解得：x=1.2m，
對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由能量守恒定律得：
Q=（m₁gsinθ-μ₁m₁gcosθ）x-$\frac{1}{2}$m₁v²，
由串聯(lián)電路知識(shí)可得cd棒產(chǎn)生的熱量：
Q′=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Q，代入數(shù)據(jù)解得：Q′=25.05J；
（3）只要ab棒勻速運(yùn)動(dòng)cd棒都未滑動(dòng)則滿足要求，
勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)ab棒：F_安培=m₁gsinθ-μ₁m₁gcosθ，
此時(shí)對(duì)cd棒：F_安培sinθ≤μ₂（m₂g+F_安培cosθ），
代入數(shù)據(jù)解得：m₁≤$\frac{125}{36}$kg≈3.47kg．
答：（1）ab棒剛要滑出導(dǎo)軌時(shí)的速度為1.5m/s．
（2）在ab棒整個(gè)下滑階段，ad棒中產(chǎn)生的熱量為25.05J；
（3）若ab棒無論從多高的位置釋放，cd棒都不動(dòng)，ab棒質(zhì)量滿足的條件是：m₁≤3.47kg．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)、電路的綜合，掌握電量的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式q=n$\frac{△Φ}{{R}_{總}}$，以及能夠正確地受力分析，抓住臨界情況，結(jié)合共點(diǎn)力平衡和能量守恒進(jìn)行求解．