Question

8．某同學(xué)自制了由兩個四分之一的光滑圓弧組成的斜面，兩圓弧在O點(diǎn)平滑對接，兩圓弧的圓心O₁、O₂與O點(diǎn)在同一豎直線上，如圖所示，已知兩圓弧的半徑均為R，現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小球從AO弧上某點(diǎn)P由靜止釋放，已知重力加速度為g．關(guān)于小球的運(yùn)動，下列說法正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)小球從A點(diǎn)釋放時，則小球運(yùn)動到O點(diǎn)時對圓弧的壓力為3mg
• B． 當(dāng)∠PO₁O=45°時，則小球運(yùn)動到O點(diǎn)時恰好做平拋運(yùn)動
• C． 當(dāng)小球運(yùn)動到O點(diǎn)時恰好做平拋運(yùn)動，則落地點(diǎn)距O₂為$\sqrt{2}$R
• D． 若P點(diǎn)選擇合適，可以使得小球沿下圓弧一直運(yùn)動到B點(diǎn)

Answer 1

分析 根據(jù)向心力公式和動能定理求出小球到O點(diǎn)時對軌道的壓力，在下軌道的最高點(diǎn)$v=\sqrt{gR}$，類似汽車過拱橋最高點(diǎn)，將做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律求水平位移，小球在下圓弧軌道上，物塊受到重力和支持力，根據(jù)牛頓第二定律分析即可求解

解答 解：A、從A→O根據(jù)動能定理$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2gR}$
在O點(diǎn)，由向心力公式得${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N}^{\;}=3mg$
根據(jù)牛頓第三定律小球運(yùn)動到O點(diǎn)時對圓弧的壓力等于圓弧對軌道的壓力3mg，故A正確．
B．、當(dāng)∠PO₁O=45°時，根據(jù)動能定理，有$mg\frac{R}{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{'2}$
${v}_{0}^{'}=\sqrt{gR}$
小球在${O}_{2}^{\;}$圓弧的最高點(diǎn)，有$mg-{F}_{N}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{'2}}{R}$
得${F}_{N}^{\;}=0$
小球在最高點(diǎn)只受重力，做平拋運(yùn)動，故B正確
C、離開O點(diǎn)做平拋運(yùn)動，$R=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
$x={v}_{0}^{′}t$
解得$x=\sqrt{2}R$，故C正確．
D、在下圓弧軌道上，物塊只受重力和支持力，運(yùn)用正交分解法，設(shè)物塊與圓心連線與豎直方向的夾角為θ，有$mgcosθ-{F}_{N}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，隨著θ增加，速度增加，${F}_{N}^{\;}$減小，到某一位置${F}_{N}^{\;}=0$，物塊脫離軌道．故D錯誤
故選：ABC

點(diǎn)評 ABC是常規(guī)題，D選項有一定難度．本題的D選項可以證明當(dāng)從靜止開始從下圓弧軌道最高點(diǎn)釋放，在距地面$h=\frac{2}{3}R$處時脫離軌道，本題中從上圓弧適當(dāng)位置釋放，到達(dá)下圓弧最高點(diǎn)已有速度，比靜止時先脫離軌道．