Question

6．如圖所示，半徑為R的光滑半圓形軌道CDE在豎直平面內(nèi)與光滑水平軌道AC相切于C點(diǎn)，水平軌道AC上有一輕質(zhì)彈簧，彈簧左端連接在固定的擋板上，彈簧自由端B與軌道最低點(diǎn)C的距離為4R，現(xiàn)用一個(gè)小球壓縮彈簧（不拴接），當(dāng)彈簧的壓縮量為l時(shí)，釋放小球，小球在運(yùn)動(dòng)過程中恰好通過半圓形軌道的最高點(diǎn)E；之后再次從B點(diǎn)用該小球壓縮彈簧，釋放后小球經(jīng)過BCDE軌道拋出后恰好落在B點(diǎn)，已知彈簧壓縮時(shí)彈性勢(shì)能與壓縮量的二次方成正比，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，求第二次壓縮時(shí)彈簧的壓縮量．

Answer 1

分析 第一次壓縮量為l時(shí)，小球恰好通過E點(diǎn)，在E點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力，可求得E點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒定律表示出壓縮時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能．
第二次壓縮時(shí)，小球離開E點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球通過E點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒定律出壓縮時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能．根據(jù)彈性勢(shì)能與壓縮量的二次方成正比，求解第二次壓縮時(shí)彈簧的壓縮量．

解答 解：設(shè)第一次壓縮量為l時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為E_p．
釋放小球后彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能，設(shè)小球離開彈簧時(shí)速度為v₁
由機(jī)械能守恒定律得  E_p=$\frac{1}{2}$mv₁²
設(shè)小球在最高點(diǎn)E時(shí)的速度為v₂，由臨界條件可知
    mg=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，v₂=$\sqrt{gR}$
由機(jī)械能守恒定律可得   $\frac{1}{2}$mv₁²=mg×2R+$\frac{1}{2}$mv₂²
以上幾式聯(lián)立解得  E_p=$\frac{5}{2}$mgR
設(shè)第二次壓縮時(shí)彈簧的壓縮量為x，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為E_p′
小球通過最高點(diǎn)E時(shí)的速度為v₃，由機(jī)械能守恒定律可得：E_p′=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₃²
小球從E點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得
   4R=v₃t，2R=$\frac{1}{2}$gt²
解得  v₃=2$\sqrt{gR}$，解得  E_p′=4mgR
由已知條件可得 $\frac{Ep′}{Ep}$=$\frac{{x}^{2}}{{l}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得 x=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$l．
答：第二次壓縮時(shí)彈簧的壓縮量是$\frac{2\sqrt{10}}{5}$l．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒定律、向心力與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用．利用機(jī)械能守恒定律的優(yōu)點(diǎn)在于不用分析物體運(yùn)動(dòng)過程的細(xì)節(jié)，只關(guān)心初末狀態(tài)即可，但要分析能量是如何轉(zhuǎn)化的．