Question

15．宇航員駕駛宇宙飛船到達(dá)月球表面附近，關(guān)閉動(dòng)力后，飛船在近月圓軌道繞月球運(yùn)行的周期為T；接著，宇航員調(diào)整飛船動(dòng)力，安全著陸，宇航員在月球表面離地H高處將一小球以某一初速度水平拋出，測(cè)出其水平射程為x，已知月球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）小球開始拋出時(shí)的初速度v．

Answer 1

分析 飛船繞月近地運(yùn)行，月球?qū)︼w船的萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，化簡(jiǎn)可得月球的質(zhì)量M；在月球表面重力提供向心力，求出月球表面重力加速度，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，分別在水平方向上和豎直方向上列出位移與時(shí)間的關(guān)系，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）飛船繞月近地運(yùn)行，月球?qū)︼w船的萬(wàn)有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：
x=vt
豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，有：
H=$\frac{1}{2}$gt²
在月球表面，小球受到月球的萬(wàn)有引力近似等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：g=$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：v=$x\sqrt{\frac{g}{2H}}$=$x\sqrt{\frac{4{π}^{2}R}{2H{T}^{2}}}$
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）小球開始拋出時(shí)的初速度v為$x\sqrt{\frac{4{π}^{2}R}{2H{T}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查萬(wàn)有引力提供向心力這個(gè)關(guān)系和平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)規(guī)律，字母運(yùn)算多，要細(xì)心，難度適中．