Question

4．如圖所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置．兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球a、b以不同的速度進(jìn)入管內(nèi)，a通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)，對(duì)管壁上部的壓力為3mg，b通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)，對(duì)管壁下部的壓力為0.75mg．
（1）分別畫(huà)出a、b在A點(diǎn)的受力圖．
（2）分別計(jì)算a、b在A點(diǎn)的速度大�。�
（3）求a、b兩球落地點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）受力分析受重力和彈力即可
（2）a球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，管壁對(duì)球的彈力方向向下，大小為3mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出a球在最高點(diǎn)速度．
b球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，管壁對(duì)球的彈力方向向上，大小為0.75mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出b球在最高點(diǎn)速度．
（3）兩球從最高點(diǎn)飛出后均做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由高度2R求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由速度和初速度求解水平位移，a、b兩球落地點(diǎn)間的距離等于位移之差．

解答 解：
（1）受力分析如圖所示
（2）以a球?yàn)閷?duì)象，設(shè)其到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v_a，根據(jù)向心力公式有：
         $mg+{F}_{a}=\frac{{mv}_{a}^{2}}{R}$    又F_a=3mg  
    代入解得${v}_{a}=2\sqrt{gR}$
以b球?yàn)閷?duì)象，設(shè)其到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v_b，根據(jù)向心力公式有
         $mg-{F}_=m\frac{{v}_^{2}}{R}$   
        又F_b=0.75mg   即$\frac{1}{4}mg=\frac{{mv}_^{2}}{R}$
    所以   ${v}_=\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
（3）a、b兩球脫離軌道的最高點(diǎn)后均做平拋運(yùn)動(dòng)，所以a、b兩球的水平位移分別為：
      ${s}_{a}={v}_{a}t=2\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{4R}{g}}=4R$
      ${s}_={v}_t=\frac{1}{2}\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{4R}{g}}=R$
故a、b兩球落地點(diǎn)間的距離△s=s_a-s_b=3R．
答：（1）受力分析可知如圖
（2）a球在最高點(diǎn)速度為$2\sqrt{gR}$．b球在最高點(diǎn)速度$\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
（3）a、b兩球落地點(diǎn)間的距離為3R

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵