Question

20．小明站在水平地面上，手握不可伸長的細(xì)繩一端，細(xì)繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)繞O以半徑L做圓周運(yùn)動(dòng)，已知握繩的手離地面的高度為3L，細(xì)繩的拉力達(dá)到9mg時(shí)就會(huì)斷裂，逐漸增大球的速度，當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩恰好斷裂，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力，求：
（1）繩斷裂時(shí)小球的速度大小v₀；
（2）小球落地點(diǎn)與O點(diǎn)的水平距離和落地時(shí)速度v的大小和方向．（方向可用夾角的三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析 （1）繩斷裂時(shí)細(xì)繩的拉力達(dá)到最大值，根據(jù)在最低點(diǎn)，合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求出v₀．
（2）繩斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出時(shí)間，根據(jù)速度的合成求出小球落地時(shí)的速度，根據(jù)水平方向做運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)求解水平距離．

解答 解：（1）由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式，有：
  T-mg=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$
解得：v₀=$2\sqrt{2gL}$
（2）繩斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2（3L-L）}{g}}=2\sqrt{\frac{L}{g}}$
則水平距離x=${v}_{0}t=2\sqrt{2gL}•2\sqrt{\frac{L}{g}}=4\sqrt{2}L$
豎直方向的速度${v}_{y}=gt=2\sqrt{gL}$
則落地時(shí)的速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=2\sqrt{3gL}$
設(shè)落地時(shí)速度與水平方向的夾角為θ，則tan$θ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{2\sqrt{gL}}{2\sqrt{2gL}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
答：（1）繩斷裂時(shí)小球的速度大小為$2\sqrt{2gL}$；
（2）小球落地點(diǎn)與O點(diǎn)的水平距離為$4\sqrt{2}L$，落地時(shí)速度v的大小為$2\sqrt{3gL}$，速度方向與水平方向的夾角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題綜合了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向和水平方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源．