Question

20．如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落回A點(diǎn)，若不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）推力對(duì)小球做了多少功？（用題中所給的量：m、g、R及x表示）
（2）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)所做的功最少？最少功為多少？
（3）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)所用的力最��？最小力為多少？

Answer 1

分析 （1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后，又正好落回A點(diǎn)．因小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小，選取從A到C過(guò)程，由動(dòng)能定理可求出推力對(duì)小球所做的功．
（2）力F做功越小，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度越小，到達(dá)最高點(diǎn)C的速度越小，當(dāng)小球恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，此時(shí)C點(diǎn)的速度最小，力F做功最�。�先由牛頓第二定律求出小球通過(guò)C點(diǎn)的最小速度，根據(jù)（1）問(wèn)的結(jié)果求出x，即可得到最小功；
（3）根據(jù)功與x的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解力最小時(shí)x的值及最小的力．

解答 解：（1）質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動(dòng)后又回到A點(diǎn)，設(shè)在C點(diǎn)的速度為v_C，
質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t，
在水平方向：X=V_C≈•t，在豎直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²     
解得：v_C=$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$
對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)到C點(diǎn)由動(dòng)能定理有：W_F-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²   
解得：W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$
（2）要使力F做功最少，確定x的取值，由W_F=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_C²可知，
只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度最小，則W_F就最小，若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過(guò)C點(diǎn)，其在C點(diǎn)的最小速度為v，由牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   
即v=$\sqrt{gR}$，而$\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$=$\sqrt{gR}$
解得：x=2R時(shí)，W_F最小，其最小值為W_F=2.5mgR
（3）由于W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$，而W_F=Fx
所以 F=$\frac{1}{8}mg（\frac{16R}{x}+\frac{x}{R}）$
由此可知：當(dāng)$\frac{16R}{x}$=$\frac{x}{R}$，即x=4R時(shí)，力F最小，其最小值為mg．
答：
（1）推力對(duì)小球所做的功是$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$．
（2）x等于2R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)所做的功最少，最小功為2.5mgR．
（3）x取4R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)用力最小，最小力為mg．

點(diǎn)評(píng) 本題要挖掘隱含的臨界條件：小球通過(guò)C點(diǎn)的最小速度為$\sqrt{gR}$，由動(dòng)能定理求解F做功，再運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式知識(shí)求解極值．