Question

18．圖示為戲水滑梯的模型圖，它由兩個半徑均為R=0.5m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道連接而成．O₁，O₂分別是這兩段圓弧軌道的圓心，A處的切線豎直，O₂CD在同一條水平線上，CD是水池的水面．在B處有可視為質點的兩個小球1和2，兩小球間夾有一個極短的輕彈簧，當彈簧中儲存了90J的彈性勢能時將彈簧鎖定．已知：m₁=4kg，m₂=1kg，g=10m/s²，某時刻解除彈簧的鎖定．問：
（1）彈簧將兩小球彈開的瞬間，它們的速度各多大？
（2）彈簧將兩小球彈開的瞬間，小球1對軌道的壓力多大？
（3）兩個小球最終落入水池中時它們之間的距離．

Answer 1

分析 （1）對兩小球碰撞過程由動量守恒定律及功能守恒定律可求得兩球的速度；
（2）小球做圓周運動，由向心力公式可求得支持力，再由牛頓第三定律可求得小球對軌道的壓力；
（3）由向心力公式可求得小球的速度，再由平拋運動規(guī)律可求得兩小球落入水池時的距離．

解答 解：（1）由于兩小球可視為質點，且彈簧極短，可認為兩小球與彈簧組成的系統(tǒng)位于圓周的最低點B，且該處的切線是水平的，彈簧與兩小球組成的系統(tǒng)合外力為零，滿足：設向右為正方向，
由動量守恒定律可知：
mv₁+mv₂=0
由功能關系可得：
${E_p}=\frac{1}{2}{m_2}v_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$
解得：v₁=3m/s方向向左，v₂=-12m/s方向向右 
（2）小球1向左沿圓周做圓周運動，在最低點B滿足：$N-{m_1}g={m_1}\frac{v_1^2}{R}$
解得小球1受到的軌道支持力N=112N
由牛頓第三定律可知，小球1對軌道的壓力N′=112N
（3）在最低點B，小球直接飛出的條件：$mg=m\frac{v^2}{R}$
解得$v=\sqrt{gR}=\sqrt{5}m/s$
小球1最后由圓軌道AB返回，小球2向右運動，無論是小球1還是小球2，其速度都大于$v=\sqrt{5}m/s$，兩小球直接飛離B點做平拋運動，滿足：$R=\frac{1}{2}g{t^2}$
s=（v₂-v₁）t
解得兩小球落入水池時它們間的距離為：s=2.8m
答：（1）彈簧將兩小球彈開的瞬間，它們的速度各為3m/s和-12m/s；
（2）彈簧將兩小球彈開的瞬間，小球1對軌道的壓力為112N；
（3）兩個小球最終落入水池中時它們之間的距離為2.8M

點評 本題考查動量守恒定律、能量守恒定律及平拋運動規(guī)律，要注意分析物理過程，注意圓周運動中向心力公式的應用及平拋運動的規(guī)律的應用．