Question

13．如圖所示，BCPD是由半徑為R的圓軌道與半徑為2R的圓弧軌道BC、CD相切與C點(diǎn)構(gòu)成的豎直螺旋軌道，其中，P為軌道的最高點(diǎn)，C為最低點(diǎn)，BP與豎直方向的夾角為37°，軌道光滑，質(zhì)量為m的小球1以一定的初速度由B點(diǎn)沿軌道運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，與靜止在C點(diǎn)的相同小球2發(fā)生彈性碰撞，已知兩小球距可看作質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）要使小球2能通過軌道最高點(diǎn)P，小球1的初速度應(yīng)滿足什么條件？
（2）若小球2恰好能做圓周運(yùn)動(dòng)，則小球1到達(dá)C點(diǎn)碰撞前與小球2做圓周運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力之差是多少？（結(jié)果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）要使小球2剛好能通過軌道最高點(diǎn)P點(diǎn)，在P點(diǎn)，剛好由重力提供向心力，據(jù)此列式求出小球1通過P點(diǎn)的最小速度，再對(duì)小球從C到P的過程，由動(dòng)能定理求出小球2在C點(diǎn)的速度．再研究?jī)汕蚺鲎驳倪^程，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得到碰撞前小球1的速度．根據(jù)動(dòng)能定理求得小球1的初速度最小值，從而得到小球1初速度的范圍．
（2）分別對(duì)兩球在兩個(gè)軌道上，根據(jù)向心力公式求出支持力，再求出壓力差即可．

解答 解：（1）要使小球2通過P點(diǎn)，則小球2經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)F_N≥0，有：
$mg+{F_N}≥m\frac{v_P^2}{R}$
解得：${v_p}≥\sqrt{gR}$
小球2由C運(yùn)動(dòng)到P，由動(dòng)能定理得：$2mgR=\frac{1}{2}mv_c^2-\frac{1}{2}mv_P^2$
解得：${v_c}=\sqrt{5gR}$
兩球碰撞過程，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律可知：mv=mv_c+mv′，
由機(jī)械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv_c²+$\frac{1}{2}$mv′²
聯(lián)立解得，碰撞前小球1的速度為：v=v_c
所以有：$v≥\sqrt{5gR}$
小球1由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理可得：
$mg×2R（1-cos{37°}）=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
解得：${v_0}≥\frac{{\sqrt{105gR}}}{5}$
（2）小球1到達(dá)C點(diǎn)碰撞前相當(dāng)于在圓周上過最低點(diǎn)，由B點(diǎn)到C點(diǎn)，有：
${N_1}-mg=m\frac{{v_{\;}^2}}{2R}$
小球2做圓周運(yùn)動(dòng)，由C點(diǎn)到D點(diǎn)，有：
${N_2}-mg=m\frac{v_C^2}{R}$
聯(lián)立解得兩小球在經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)兩球的支持力之差為：
$△N={N_2}-{N_1}=m\frac{v_C^2}{2R}=\frac{5}{2}mg$
根據(jù)牛頓第三定律可知，兩球?qū)�軌道的壓力之差�?\frac{5}{2}$mg．
答：（1）要使小球2能通過軌道最高點(diǎn)P，小球2的初速度應(yīng)滿足的條件是：${v_0}≥\frac{{\sqrt{105gR}}}{5}$．
（2）小球1到達(dá)C點(diǎn)碰撞前與小球2做圓周運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力之差為$\frac{5}{2}$mg．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力學(xué)問題，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，分析向心力的來源是關(guān)鍵，知道小球恰好經(jīng)過最高點(diǎn)的條件，要具有解決綜合問題的能力，需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)．