Question

7．如圖所示，位于豎直平面上的$\frac{1}{4}$圓弧光滑軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，圓弧軌道上端A點(diǎn)距地面高度為H，質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)靜止釋放，到B點(diǎn)的速度為$\sqrt{2gR}$，最后落在地面C點(diǎn)處，不計(jì)空氣阻力．
試求：
（1）小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力多大？
（2）小球落地點(diǎn)C與B的水平距離S為多少？
（3）比值$\frac{R}{H}$為多少時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B水平距離S最遠(yuǎn)？該水平距離的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）在B點(diǎn)，由重力和支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出支持力，再由牛頓第三定律得到壓力．
（2）小球從B點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出時(shí)間，再平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求水平距離S．
（3）小球由A→B過程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到水平位移的表達(dá)式，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解平距離的最大值．

解答 解：（1）小球沿圓弧做圓周運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)由牛頓第二定律有：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
據(jù)題：v_B=$\sqrt{2gR}$
解得  N=3mg根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓力大小等于軌道�?duì)小球的支持力，為3mg．
（2）小球由B→C過程做平拋運(yùn)動(dòng)，則
水平方向有：
S=v_Bt
豎直方向有：H-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 S=2$\sqrt{（H-R）R}$ 
（3）由上知，水平距離：S=2$\sqrt{（H-R）R}$ 
 所以，當(dāng)F-R=R，即$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，S最大，且最大值為：S_m=2×$\frac{H}{2}$=H
答：（1）小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力為3mg．
（2）小球落地點(diǎn)C與B的水平距離S為2$\sqrt{（H-R）R}$．
（3）比值$\frac{R}{H}$為$\frac{1}{2}$時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B水平距離S最遠(yuǎn)，該水平距離的最大值是H．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵對(duì)兩個(gè)的運(yùn)動(dòng)過程分析清楚，然后選擇機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列式求解；第3問要用數(shù)學(xué)的二次函數(shù)的知識(shí)討論極值問題，考查學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．