Question

14．如圖所示，水平虛線L₁、L₂之間是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)豎直寬度為h，磁場(chǎng)方向水平向里．豎直平面內(nèi)有一等腰梯形導(dǎo)線框，底邊水平，其上下邊長(zhǎng)之比為5：1，高為2h．現(xiàn)使線框AB邊在磁場(chǎng)邊界L₁的上方h高處由靜止自由下落，當(dāng)AB邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度恰好為0，在DC邊剛要進(jìn)入磁場(chǎng)前的一小段時(shí)間內(nèi)，線框做勻速運(yùn)動(dòng)．重力加速度為g．
（1）如果已知磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)線框電阻為R，AB長(zhǎng)為l，求線框的質(zhì)量；
（2）求在DC邊進(jìn)入磁場(chǎng)前，線框做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小與AB邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小之比；
（3）求DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框加速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒求出AB剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，根據(jù)AB剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度恰好為0，由平衡條件求出線框的質(zhì)量．
（2）在DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)前的一段時(shí)間內(nèi)，線框做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)線框有效切割長(zhǎng)度為2l，由平衡條件得到重力與安培力的關(guān)系式，將兩個(gè)重力與安培力的關(guān)系式進(jìn)行對(duì)比，求出DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)前線框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度．然后求出速度之比．
（3）DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間，線框有效切割的長(zhǎng)度為3l，推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，由牛頓第二定律求出加速度．

解答 解：（1）設(shè)AB邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v₀，線框質(zhì)量為m、電阻為R，
設(shè)AB=l，已知AB與CD之比為：5：1，則CD=5l，
從線框開始運(yùn)動(dòng)到AB邊進(jìn)入磁場(chǎng)過程，由機(jī)械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²，
AB剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度為零，則線框所受合力為零，
由平衡條件得：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$=mg，解得：m=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2gh}}{gR}$，v₀=$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$；
（2）DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)前勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v₁，線框切割磁感應(yīng)線的有效長(zhǎng)度為2l，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{B（{L}_{上}-{L}_{下}）{v}_{1}△t}{△t}$=2Blv₁，
框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件得：$\frac{{B}^{2}（2l）^{2}{v}_{1}}{R}$=mg，
解得：v₁=$\frac{mgR}{4{B}^{2}{l}^{2}}$，則：速度之比：v₁：v₀=1：4；
（3）CD剛進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間，線框切割磁感應(yīng)線的有效長(zhǎng)度為3l，
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E_感′=B•3l•v₁ ，安培力：F₁=BI₁•3l=$\frac{{B}^{2}（3l）^{2}{v}_{1}}{R}$=$\frac{9}{4}$mg，
由牛頓第二定律得：F₁-mg=ma，解得：a=$\frac{5}{4}$g；
答：（1）如果已知磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)線框電阻為R，AB長(zhǎng)為l，線框的質(zhì)量為=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2gh}}{gR}$；
（2）在DC邊進(jìn)入磁場(chǎng)前，線框做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小與AB邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小之比為1：4；
（3）求DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框加速度的大小為$\frac{5}{4}$g．

點(diǎn)評(píng) 本題要研究物體多個(gè)狀態(tài)，再找它們的關(guān)系，關(guān)鍵要寫出線框有效的切割長(zhǎng)度，即與速度方向垂直的導(dǎo)體等效長(zhǎng)度．