Question

14．如圖所示，水平虛線L₁、L₂之間是勻強磁場，磁場區(qū)豎直寬度為h，磁場方向水平向里．豎直平面內(nèi)有一等腰梯形導線框，底邊水平，其上下邊長之比為5：1，高為2h．現(xiàn)使線框AB邊在磁場邊界L₁的上方h高處由靜止自由下落，當AB邊剛進入磁場時加速度恰好為0，在DC邊剛要進入磁場前的一小段時間內(nèi)，線框做勻速運動．重力加速度為g．
（1）如果已知磁感應強度為B，導線框電阻為R，AB長為l，求線框的質(zhì)量；
（2）求在DC邊進入磁場前，線框做勻速運動時的速度大小與AB邊剛進入磁場時的速度大小之比；
（3）求DC邊剛進入磁場時，線框加速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒求出AB剛進入磁場時的速度，根據(jù)AB剛進入磁場時加速度恰好為0，由平衡條件求出線框的質(zhì)量．
（2）在DC邊剛進入磁場前的一段時間內(nèi)，線框做勻速運動，此時線框有效切割長度為2l，由平衡條件得到重力與安培力的關系式，將兩個重力與安培力的關系式進行對比，求出DC邊剛進入磁場前線框勻速運動時的速度．然后求出速度之比．
（3）DC邊剛進入磁場瞬間，線框有效切割的長度為3l，推導出安培力表達式，由牛頓第二定律求出加速度．

解答 解：（1）設AB邊剛進入磁場時速度為v₀，線框質(zhì)量為m、電阻為R，
設AB=l，已知AB與CD之比為：5：1，則CD=5l，
從線框開始運動到AB邊進入磁場過程，由機械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²，
AB剛進入磁場時加速度為零，則線框所受合力為零，
由平衡條件得：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$=mg，解得：m=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2gh}}{gR}$，v₀=$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$；
（2）DC邊剛進入磁場前勻速運動時速度為v₁，線框切割磁感應線的有效長度為2l，感應電動勢：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{B（{L}_{上}-{L}_{下}）{v}_{1}△t}{△t}$=2Blv₁，
框勻速運動時，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件得：$\frac{{B}^{2}（2l）^{2}{v}_{1}}{R}$=mg，
解得：v₁=$\frac{mgR}{4{B}^{2}{l}^{2}}$，則：速度之比：v₁：v₀=1：4；
（3）CD剛進入磁場瞬間，線框切割磁感應線的有效長度為3l，
感應電動勢：E_感′=B•3l•v₁ ，安培力：F₁=BI₁•3l=$\frac{{B}^{2}（3l）^{2}{v}_{1}}{R}$=$\frac{9}{4}$mg，
由牛頓第二定律得：F₁-mg=ma，解得：a=$\frac{5}{4}$g；
答：（1）如果已知磁感應強度為B，導線框電阻為R，AB長為l，線框的質(zhì)量為=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2gh}}{gR}$；
（2）在DC邊進入磁場前，線框做勻速運動時的速度大小與AB邊剛進入磁場時的速度大小之比為1：4；
（3）求DC邊剛進入磁場時，線框加速度的大小為$\frac{5}{4}$g．

點評 本題要研究物體多個狀態(tài)，再找它們的關系，關鍵要寫出線框有效的切割長度，即與速度方向垂直的導體等效長度．