Question

13．如圖甲所示，靜電除塵裝置中有長為L、寬為b、高為d的矩形通道，其前、后面板使用絕緣材料，上下面板使用金屬材料．圖乙是裝置的截面圖，上、下兩板與電壓恒定的高壓直流電源相連．質(zhì)量為m、電荷量為-q、分布均勻的塵埃以水平速度v₀進(jìn)入矩形通道、當(dāng)帶負(fù)電的塵埃碰到下板后其所帶電荷被中和，同時(shí)被收集．通過調(diào)整兩板間距d可以改變收集效率η．當(dāng)d=d₀時(shí)，η為81%（即離下板0.81d₀范圍內(nèi)的塵埃能夠被收集）．不計(jì)塵埃的重力及塵埃之間的相互作用：
（1）求上下板間電壓
（2）求收集效率為100%時(shí)，兩板間距的最大值d；
（3）求收集效率為η與兩板間距d 的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)分析方法：水平方向勻速和豎直方向勻加速具有等時(shí)性，即粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不超過$\frac{L}{{v}_{0}}$，所以得出臨界問題的臨界條件即可；
（2）再由豎直方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解相關(guān)問題即可；
（3）結(jié)合第二問中的臨界條件，得出恰好經(jīng)過下板右邊緣的離子的豎直位移表達(dá)式，再由收集效率的表達(dá)式η=$\frac{y}d9ppvlv$，可得收集率η與兩板間距U的函數(shù)關(guān)系．

解答 解：（1）收集效率η為81%，即離下板0.81d₀的塵埃恰好到達(dá)下板的右端邊緣，設(shè)高壓電源的電壓為U，則在水平方向有
L=v₀t   ①
在豎直方向有：$0.81fbtvxrf_{0}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$   ②
其中：$a=\frac{F}{m}=\frac{qU}{m1ftdxlr_{0}}$   ③
聯(lián)立得：U=$\frac{0.81bnrxjt1_{0}^{2}m{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$
（2）當(dāng)減小兩板間距時(shí)，能夠增大電場(chǎng)強(qiáng)度，提高裝置對(duì)塵埃的收集效率．收集效率恰好為100%時(shí)，兩板間距即為d_m．如果進(jìn)一步減小d，收集交率仍為100%．因此，在水平方向有：
L=v₀t ④
在豎直方向有：$5t5lbn1_{m}=\frac{1}{2}a′{t}^{2}$  ⑤
其中：a′=$\frac{F′}{m}=\frac{qE′}{m}=\frac{qU7}{mf3tpzvr_{m}}$   ⑥
聯(lián)立①-⑥各式可得：d_m=0.9d₀     ⑦
（3）通過前面的求解可知，當(dāng)d≤0.9d₀時(shí)，收集效率η均為100%     ⑧
當(dāng)d＞0.9d₀時(shí)，設(shè)距下板x的塵埃恰好到達(dá)下板的右端邊緣，此時(shí)有：$x=\frac{1}{2}•\frac{qU}{md}•（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$   ⑨
據(jù)題意，收集效率為η=$\frac{x}f1vtxhv$
聯(lián)立①、②、③、⑨及⑩式可得η=$\frac{0.81vxjvfdp_{0}^{2}}{jtxxtl3^{2}}$
答：（1）上下板間電壓是$\frac{0.81nhjjlpf_{0}^{2}m{v}_{0}^{2}}{q{L}^{2}}$；
（2）收集效率為100%時(shí)，兩板間距的最大值d是0.9d₀；
（3）收集效率為η與兩板間距d 的函數(shù)關(guān)系是η=$\frac{0.81rf3bh9d_{0}^{2}}{zln1hlx^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問題，考查對(duì)臨界問題和類平拋運(yùn)動(dòng)問題的分析、解決問題的能力．